Mostre que as seguintes funções são densidades:
f(x)=lr1 / 8, & se 0 <= x <= 2 3 / 4, & se 4 <= x <= 5 0, & caso contrário á

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função dada é uma função de densidade. Isso envolve entender o que é uma função de densidade e quais propriedades ela deve ter para ser considerada válida. Vamos precisar verificar duas coisas principais: que a função é não negativa em todos os pontos e que a área total sob a curva dela seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser de densidade. Uma função é chamada de função de densidade se ela satisfaz duas condições:
  1. para todo .
  2. A integral de sobre todo o seu domínio é igual a 1, ou seja, .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função dada.

Passo 3

Primeiro, vamos checar se é não negativa em todos os pontos. Observando a definição da função:
  • Para , que é positivo.
  • Para , que também é positivo.
  • Em todos os outros casos, , que não é negativo.
Portanto, para todo .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a integral de integral-infty^+infty f(x) , dx = integral0^2 18 , dx + integral4^5 34 , dx + integraloutros 0 , dx sobre todo o domínio é igual a 1. Vamos calcular a área sob a curva de :
A integral em outras regiões onde será zero, então focamos em e .

Passo 5

Calculando as integrais:
  1. Para integral0^2 18 , dx = 18 times (2 - 0) = 28 = 14 :
integral4^5 34 , dx = 34 times (5 - 4) = 34 times 1 = 34
  1. Para :

Passo 6

Somando as áreas calculadas:
14 + 34 = 44 = 1
Portanto, a integral de sobre todo o domínio é igual a 1.

Resposta

A função apresentada satisfaz as condições de uma função de densidade, já que é não negativa em todo o domínio e a integral total sob sua curva é igual a 1.

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