Vamos ver o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função dada é uma função de densidade. Isso envolve entender o que é uma função de densidade e quais propriedades ela deve ter para ser considerada válida. Vamos precisar verificar duas coisas principais: que a função é não negativa em todos os pontos e que a área total sob a curva dela seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser de densidade. Uma função é chamada de função de densidade se ela satisfaz duas condições:
para todo .
A integral de sobre todo o seu domínio é igual a 1, ou seja, .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função dada.
Passo 3
Primeiro, vamos checar se é não negativa em todos os pontos. Observando a definição da função:
Para , que é positivo.
Para , que também é positivo.
Em todos os outros casos, , que não é negativo.
Portanto, para todo .
Passo 4
Agora, vamos verificar se a integral de sobre todo o domínio é igual a 1. Vamos calcular a área sob a curva de :
A integral em outras regiões onde será zero, então focamos em e .
Passo 5
Calculando as integrais:
Para :
Para :
Passo 6
Somando as áreas calculadas:
Portanto, a integral de sobre todo o domínio é igual a 1.
Resposta
A função apresentada satisfaz as condições de uma função de densidade, já que é não negativa em todo o domínio e a integral total sob sua curva é igual a 1.