Mostre que as seguintes funções são densidades:
á

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função dada é uma função de densidade. Isso envolve entender o que é uma função de densidade e quais propriedades ela deve ter para ser considerada válida. Vamos precisar verificar duas coisas principais: que a função é não negativa em todos os pontos e que a área total sob a curva dela seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser de densidade. Uma função é chamada de função de densidade se ela satisfaz duas condições:
  1. para todo .
  2. A integral de sobre todo o seu domínio é igual a 1, ou seja, .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função dada.

Passo 3

Primeiro, vamos checar se é não negativa em todos os pontos. Observando a definição da função:
  • Para , que é positivo.
  • Para , que também é positivo.
  • Em todos os outros casos, , que não é negativo.
Portanto, para todo .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a integral de sobre todo o domínio é igual a 1. Vamos calcular a área sob a curva de :
A integral em outras regiões onde será zero, então focamos em e .

Passo 5

Calculando as integrais:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Somando as áreas calculadas:
Portanto, a integral de sobre todo o domínio é igual a 1.

Resposta

A função apresentada satisfaz as condições de uma função de densidade, já que é não negativa em todo o domínio e a integral total sob sua curva é igual a 1.

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Massa
muscular (Y)
82 91 100 68 87 73 78 80 65 84 116 76 97 100 105 77 73 78
Idade (X) 71 64 43 67 56 73 68 56 76 65 45 58 45 53 49 78 73 68
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T 8 9 7 8 6 8 5 5 6 7 4 7 3 5 3
V 14 13 12 13 10 12 11 11 10 12 10 13 20 12 11