Suponha que X seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
Obtenha a função de distribuição acumulada de X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória que tem uma função densidade definida por:
á
Então, o conteúdo que vamos usar aqui envolve probabilidade e cálculo integral, já que para achar a CDF precisamos integrar a função densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (CDF). A CDF de uma variável aleatória , denotada por , nos dá a probabilidade de que seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, a função densidade é zero para , então a integral só vai ter valor diferente de zero a partir de .

Passo 3

Vamos dividir em casos para facilitar:
  1. Para :
    Como para qualquer , a integral de até também será zero. Então:
  2. Para :
    Aqui, precisamos calcular a integral de até da função densidade:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Lembrando que a integral de é quando . Então:
Agora, aplicamos os limites de até :

Resposta

A função de distribuição acumulada de é:

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á
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Massa
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82 91 100 68 87 73 78 80 65 84 116 76 97 100 105 77 73 78
Idade (X) 71 64 43 67 56 73 68 56 76 65 45 58 45 53 49 78 73 68