Suponha que X seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
f(x)=cc c x^-c-1, & x >= 1 0, para quaisquer outros valores de x
Obtenha a função de distribuição acumulada de X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória f(x)=cc c x^-c-1, & x >= 1 0, & caso contrário que tem uma função densidade definida por:
á
Então, o conteúdo que vamos usar aqui envolve probabilidade e cálculo integral, já que para achar a CDF precisamos integrar a função densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (CDF). A CDF de uma variável aleatória F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt , denotada por , nos dá a probabilidade de que seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, a função densidade é zero para , então a integral só vai ter valor diferente de zero a partir de .

Passo 3

Vamos dividir em casos para facilitar:
  1. Para F(x) = 0 para x < 1 :
    Como F(x) = integral1^x c t^-c-1 , dt para qualquer , a integral de até também será zero. Então:
  2. Para :
    Aqui, precisamos calcular a integral de até da função densidade:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral c t^-c-1 , dt = c integral t^-c-1 , dt
Lembrando que a integral de c integral t^-c-1 , dt = c cdot ( t^-c-c ) + C = -t^-c + C é F(x) = [ -t^-c ]1^x = -x^-c - (-1^-c) = 1 - x^-c quando . Então:
Agora, aplicamos os limites de até :

Resposta

A função de distribuição acumulada de F(x) = ll 0, & para x < 1 1 - x^-c, & para x >= 1 é:

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