Suponha que X seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
Obtenha a função de distribuição acumulada de X
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória
que tem uma função densidade definida por:
Então, o conteúdo que vamos usar aqui envolve probabilidade e cálculo integral, já que para achar a CDF precisamos integrar a função densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (CDF). A CDF de uma variável aleatória
, denotada por
, nos dá a probabilidade de que
seja menor ou igual a um certo valor
. Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, a função densidade
é zero para
, então a integral só vai ter valor diferente de zero a partir de
.
Passo 3
Vamos dividir em casos para facilitar:
-
Para
: Comopara qualquer , a integral de até também será zero. Então: -
Para
: Aqui, precisamos calcular a integral deaté da função densidade:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Lembrando que a integral de
é
quando
. Então:
Agora, aplicamos os limites de
até
:
Resposta
A função de distribuição acumulada de
é: