Mostre as seguintes igualdades utilizando as propriedades:
(i)(A-B) cup(B-A)=(A cup B)-(A cap B)
(ii) A cap(B-C)=(A cap B)-(A cap C)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas igualdades envolvendo operações com conjuntos e precisamos prová-las utilizando as propriedades das operações de união, interseção e diferença de conjuntos. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como a definição de união (∪), interseção (∩) e diferença (-).

Passo 2

Vamos começar pela primeira igualdade:
(A - B) cup (B - A) = (A cup B) - (A cap B)
Aqui, A - B representa os elementos que estão em A mas não em B, e B - A representa os elementos que estão em B mas não em A. A união desses dois conjuntos deve ser igual à união de A e B, menos a interseção entre A e B.

Passo 3

Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
(A - B) cup (B - A)
Por definição, A - B = A cap B e B - A = B cap A, onde B é o complemento de B.

Passo 4

Substituindo na expressão:
(A cap B) cup (B cap A)
Utilizando a propriedade distributiva da união sobre a interseção:
= (A cup B) cap (B cup A)

Passo 5

Sabemos que B cup A = A cap B pela Lei de De Morgan. Então:
= (A cup B) cap A cap B

Passo 6

Isso equivale a:
(A cup B) - (A cap B)
Portanto, mostramos que:
(A - B) cup (B - A) = (A cup B) - (A cap B)

Passo 7

Agora, vamos para a segunda igualdade:
A cap (B - C) = (A cap B) - (A cap C)
Aqui, B - C representa os elementos que estão em B mas não em C. Queremos ver se a interseção de A com B - C é igual à interseção de A com B, menos a interseção de A com C.

Passo 8

Vamos analisar o lado esquerdo:
A cap (B - C)
Por definição, B - C = B cap C, onde C é o complemento de C.

Passo 9

Substituindo na expressão:
A cap (B cap C)
Usando a propriedade associativa da interseção:
= (A cap B) cap C

Passo 10

Isso significa que estamos pegando os elementos que estão em A e B, e que não estão em C:
(A cap B) - (A cap C)
Portanto, mostramos que:
A cap (B - C) = (A cap B) - (A cap C)

Resposta

As duas igualdades foram comprovadas utilizando as propriedades das operações de conjuntos:
  1. (A - B) cup (B - A) = (A cup B) - (A cap B)
  2. A cap (B - C) = (A cap B) - (A cap C)

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