Mostre as seguintes igualdades utilizando as propriedades:
(ii)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas igualdades envolvendo operações com conjuntos e precisamos prová-las utilizando as propriedades das operações de união, interseção e diferença de conjuntos. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos, como a definição de união (∪), interseção (∩) e diferença (-).
Passo 2
Vamos começar pela primeira igualdade:
Aqui, representa os elementos que estão em A mas não em B, e representa os elementos que estão em B mas não em A. A união desses dois conjuntos deve ser igual à união de A e B, menos a interseção entre A e B.
Passo 3
Vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
Por definição, e B - A = B cap A, onde B é o complemento de B.
Passo 4
Substituindo na expressão:
(A cap B) cup (B cap A)
Utilizando a propriedade distributiva da união sobre a interseção: = (A cup B) cap (B cup A)
Passo 5
Sabemos que B cup A = A cap B pela Lei de De Morgan. Então:
= (A cup B) cap A cap B
Passo 6
Isso equivale a:
(A cup B) - (A cap B)
Portanto, mostramos que: (A - B) cup (B - A) = (A cup B) - (A cap B)
Passo 7
Agora, vamos para a segunda igualdade:
A cap (B - C) = (A cap B) - (A cap C)
Aqui, B - C representa os elementos que estão em B mas não em C. Queremos ver se a interseção de A com B - C é igual à interseção de A com B, menos a interseção de A com C.
Passo 8
Vamos analisar o lado esquerdo:
A cap (B - C)
Por definição, B - C = B cap C, onde C é o complemento de C.
Passo 9
Substituindo na expressão:
A cap (B cap C)
Usando a propriedade associativa da interseção: = (A cap B) cap C
Passo 10
Isso significa que estamos pegando os elementos que estão em A e B, e que não estão em C:
(A cap B) - (A cap C)
Portanto, mostramos que: A cap (B - C) = (A cap B) - (A cap C)
Resposta
As duas igualdades foram comprovadas utilizando as propriedades das operações de conjuntos: