Prove, usando as propriedades, que A-(B-C)=(A-B) cup(A cap C).

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Precisamos provar que . Aqui, estamos trabalhando com teoria de conjuntos, especificamente com as operações de diferença de conjuntos ( ), união ( ) e interseção ( ). Para resolver isso, vamos usar as definições dessas operações e propriedades básicas dos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A diferença de conjuntos é o conjunto de elementos que estão em mas não estão em . Então, é o conjunto de elementos que estão em mas não em . Portanto, é o conjunto de elementos que estão em mas não estão em .

Passo 3

Agora, vamos expressar A - (B - C) = x in A | x notin (B - C) de outra forma usando a definição de diferença de conjuntos:
Isso significa que está em e não está em .

Passo 4

Como x notin B - C iff (x notin B) lor (x in C) não está em A - (B - C) = x in A | (x notin B) lor (x in C) , de acordo com a definição de diferença de conjuntos, isso significa que ou não está em , ou está em . Em termos lógicos:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos separar isso em duas partes usando a propriedade da união:
x in A | (x notin B) lor (x in C) = x in A | x notin B cup x in A | x in C
Isso pode ser reescrito como:
A - (B - C) = (A - B) cup (A cap C)

Resposta

Portanto, provamos que .

Exercícios relacionados