Mostre que a solução do problema de mínimos quadrados para ajustar uma reta y=a+b x pode ser obtida resolvendo o seguinte sistema linear:
l n a+(sumi=1^n xi) b=sumi=1^n yi (sumi=1^n xi) a+(sumi=1^n xi^2) b=sumi=1^n xi yi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, para ajustar uma reta na forma usando o método dos mínimos quadrados, a gente chega no sistema de equações que foi apresentado. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo e álgebra linear. Vamos precisar entender como minimizar a soma dos quadrados dos erros para encontrar os melhores valores de e .

Passo 2

Primeiro, o que são mínimos quadrados? É um método pra encontrar a melhor reta que se ajusta aos dados que a gente tem. A ideia é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( S(a, b) = sumi=1^n (yi - a - b xi)^2 ) e os valores previstos pela reta ( ). Então, a gente quer minimizar a função:

Passo 3

Para minimizar essa função , a gente vai usar derivadas parciais. Isso significa que vamos calcular a derivada de em relação a e em relação a , e então igualar essas derivadas a zero. Isso nos dará duas equações, que formam o sistema que a gente precisa resolver.

Passo 4

Vamos começar calculando a derivada parcial de partial Spartial a = -2 sumi=1^n (yi - a - b xi) = 0 em relação a sumi=1^n yi = n a + b sumi=1^n xi :
Simplificando essa equação:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Spartial b = -2 sumi=1^n xi (yi - a - b xi) = 0 em relação a sumi=1^n xi yi = a sumi=1^n xi + b sumi=1^n xi^2 :
Simplificando essa equação:

Passo 6

Agora, juntando as duas equações que obtivemos, temos um sistema linear:
l n a + (sumi=1^n xi) b = sumi=1^n yi (sumi=1^n xi) a + (sumi=1^n xi^2) b = sumi=1^n xi yi
Esse é o sistema que precisamos resolver para encontrar os valores de e que melhor ajustam a reta aos dados.

Resposta

Então, mostramos que para ajustar a reta l n a+(sumi=1^n xi) b=sumi=1^n yi (sumi=1^n xi) a+(sumi=1^n xi^2) b=sumi=1^n xi yi pelos mínimos quadrados, a gente resolve o sistema linear:

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