Mostre que a solução do problema de mínimos quadrados para ajustar uma reta
pode ser obtida resolvendo o seguinte sistema linear:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que, para ajustar uma reta na forma
usando o método dos mínimos quadrados, a gente chega no sistema de equações que foi apresentado. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo e álgebra linear. Vamos precisar entender como minimizar a soma dos quadrados dos erros para encontrar os melhores valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, o que são mínimos quadrados? É um método pra encontrar a melhor reta que se ajusta aos dados que a gente tem. A ideia é minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados (
) e os valores previstos pela reta (
). Então, a gente quer minimizar a função:
Passo 3
Para minimizar essa função
, a gente vai usar derivadas parciais. Isso significa que vamos calcular a derivada de
em relação a
e em relação a
, e então igualar essas derivadas a zero. Isso nos dará duas equações, que formam o sistema que a gente precisa resolver.
Passo 4
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando essa equação:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando essa equação:
Passo 6
Agora, juntando as duas equações que obtivemos, temos um sistema linear:
Esse é o sistema que precisamos resolver para encontrar os valores de
e
que melhor ajustam a reta aos dados.
Resposta
Então, mostramos que para ajustar a reta
pelos mínimos quadrados, a gente resolve o sistema linear: