Mostre que para todo inteiro não negativo n, tem-se que
9 mid(10^n+3 cdot 4^n+2+5)
Sugestão: Por indução sobre n .

Passo 1

Então, vamos lá! O que o enunciado está pedindo é para provar que, para qualquer número inteiro não negativo , o número é divisível por 9. A matéria que vamos usar aqui é matemática discreta, mais especificamente o princípio da indução matemática. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a indução para provar que uma propriedade vale para todos os inteiros não negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que 9 divide . Isso quer dizer que quando calculamos , o resultado é múltiplo de 9, ou seja, podemos escrever , onde é um número inteiro.

Passo 3

Vamos usar o princípio da indução matemática, que tem dois passos principais:
  1. Base da Indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de , geralmente .
  2. Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum e, com base nisso, mostrar que ela é verdadeira para .

Passo 4

Base da Indução: Vamos verificar para 10^0 + 3 cdot 4^0+2 + 5 = 1 + 3 cdot 16 + 5 = 1 + 48 + 5 = 54 .
54 div 9 = 6
Agora, verificamos se 54 é divisível por 9:
Como 6 é um número inteiro, a base da indução está confirmada.

Passo 5

Passo Indutivo: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para 9 mid(10^k + 3 cdot 4^k+2 + 5) , ou seja:
10^k + 3 cdot 4^k+2 + 5 = 9m
Isso significa que existe um inteiro tal que:

Passo 6

Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para 10^k+1 + 3 cdot 4^(k+1)+2 + 5 :
10^k+1 + 3 cdot 4^k+3 + 5 = 10 cdot 10^k + 3 cdot 4 cdot 4^k+2 + 5 = 10 cdot 10^k + 12 cdot 4^k+2 + 5
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Agora, vamos reescrever a expressão em termos da hipótese de indução:
10 cdot 10^k + 12 cdot 4^k+2 + 5 = 10 (10^k + 3 cdot 4^k+2 + 5) - 30 cdot 4^k+2 + 12 cdot 4^k+2
Simplificando:
= 10 cdot 9m - 18 cdot 4^k+2 = 90m - 18 cdot 4^k+2

Passo 8

Podemos fatorar 9 dessa expressão:
90m - 18 cdot 4^k+2 = 9 cdot 10m - 9 cdot 2 cdot 4^k+2 = 9(10m - 2 cdot 4^k+2)
Assim, , que é claramente divisível por 9.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo inteiro não negativo , divide .

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