Mostre que para todo inteiro não negativo
, tem-se que
Sugestão: Por indução sobre n .
Passo 1
Então, vamos lá! O que o enunciado está pedindo é para provar que, para qualquer número inteiro não negativo
, o número
é divisível por 9. A matéria que vamos usar aqui é matemática discreta, mais especificamente o princípio da indução matemática. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a indução para provar que uma propriedade vale para todos os inteiros não negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que 9 divide
. Isso quer dizer que quando calculamos
, o resultado é múltiplo de 9, ou seja, podemos escrever
, onde
é um número inteiro.
Passo 3
Vamos usar o princípio da indução matemática, que tem dois passos principais:
- Base da Indução: Verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de
, geralmente . - Passo Indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para algum
e, com base nisso, mostrar que ela é verdadeira para .
Passo 4
Base da Indução: Vamos verificar para
.
Agora, verificamos se 54 é divisível por 9:
Como 6 é um número inteiro, a base da indução está confirmada.
Passo 5
Passo Indutivo: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para
, ou seja:
Isso significa que existe um inteiro
tal que:
Passo 6
Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
:
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Agora, vamos reescrever a expressão em termos da hipótese de indução:
Simplificando:
Passo 8
Podemos fatorar 9 dessa expressão:
Assim,
, que é claramente divisível por 9.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo inteiro não negativo
,
divide
.
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.
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