Sejam A um anel, a e b elementos de A e n um número natural. Mostre que:
a) Para todo n tem-se que (a-b) mid(a^n-b^n).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um anel , dois elementos e desse anel, e um número natural . O objetivo aqui é mostrar que, para todo , o elemento divide . Ou seja, a gente precisa provar que é múltiplo de . Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre divisibilidade em anéis e também sobre fatoração de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que um elemento divide outro elemento num anel. Significa que existe algum elemento no anel tal que . No nosso caso, queremos mostrar que para algum no anel .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como podemos fatorar a expressão a^n - b^n = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b^2 + dots + ab^n-2 + b^n-1) . Existe uma fórmula que diz que a diferença de potências pode ser fatorada como o produto da diferença dos termos e uma soma das potências decrescentes com o outro termo. Mais especificamente:

Passo 4

Vamos entender por que essa fatoração funciona. Se você multiplicar pela soma , cada termo no meio some adequadamente, cancelando os termos intermediários e deixando apenas e .

Passo 5

Então, com essa fatoração, temos que:
a^n - b^n = (a - b) cdot (a^n-1 + a^n-2b + dots + b^n-1)
Isso mostra exatamente que divide , já que é igual a multiplicado por outra expressão no anel .

Resposta

Portanto, para todo número natural , divide no anel .

Exercícios relacionados