Sejam A um anel, a e b elementos de A e n um número natural. Mostre que:
a) Para todo
tem-se que
.
a) Para todo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um anel
, dois elementos
e
desse anel, e um número natural
. O objetivo aqui é mostrar que, para todo
, o elemento
divide
. Ou seja, a gente precisa provar que
é múltiplo de
. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre divisibilidade em anéis e também sobre fatoração de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que um elemento
divide outro elemento
num anel. Significa que existe algum elemento
no anel tal que
. No nosso caso, queremos mostrar que
para algum
no anel
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como podemos fatorar a expressão
. Existe uma fórmula que diz que a diferença de potências pode ser fatorada como o produto da diferença dos termos e uma soma das potências decrescentes com o outro termo. Mais especificamente:
Passo 4
Vamos entender por que essa fatoração funciona. Se você multiplicar
pela soma
, cada termo
no meio some adequadamente, cancelando os termos intermediários e deixando apenas
e
.
Passo 5
Então, com essa fatoração, temos que:
Isso mostra exatamente que
divide
, já que
é igual a
multiplicado por outra expressão no anel
.
Resposta
Portanto, para todo número natural
,
divide
no anel
.
Exercícios relacionados
Mostre que para todo inteiro não negativo
, tem-se que
Sugestão: Por indução sobre n .
Você conhece algum tipo de matriz que sempre será diagonalizável?
Cite uma aplicação da diagonalização de matrizes.
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Seja a reta determinada pela interseção dos planos
e
. Encontre a equação do plano que passa por
e contém a reta
.
Seja