Dados n números naturais consecutivos, mostre que um e apenas um destes números é divisível por n .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: Se a gente pegar n números naturais que são consecutivos, temos que provar que apenas um desses números é divisível por n. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de divisibilidade e de como os números se comportam quando divididos pelo mesmo número. Vamos precisar entender o que significa um número ser divisível por outro e como trabalhar com restos da divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser divisível por n. Um número a é divisível por n se, quando dividimos a por n, o resto da divisão é zero. Em outras palavras, a é divisível por n se existe um número inteiro k tal que:
Passo 3
Agora, vamos considerar que temos n números naturais consecutivos. Vamos chamar esses números de a₁, a₂, a₃, …, aₙ. Por serem consecutivos, cada número é igual ao anterior mais um. Por exemplo:
Passo 4
Quando dividimos cada um desses números por n, cada divisão vai ter um resto diferente. Isso acontece porque, como os números são consecutivos, seus restos após a divisão por n também são consecutivos, começando de algum número inicial até n - 1. Portanto, os restos possíveis são:
Passo 5
Como temos exatamente n restos possíveis e n números para dividir, cada número vai produzir um resto diferente. Isso garante que todos os restos de 0 a n - 1 serão usados uma vez. Dentre esses restos, apenas o 0 indica que o número é divisível por n.
Passo 6
Assim, concluímos que exatamente um dos n números consecutivos terá um resto de 0 quando dividido por n, ou seja, apenas um será divisível por n.
Resposta
Dessa forma, mostramos que em n números naturais consecutivos, um e somente um deles é divisível por n.