Mostre que os três vetores
,
e
formam um conjunto linearmente dependente em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é mostrar que os três vetores
,
e
são linearmente dependentes em
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinação linear e dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se existe uma combinação não trivial desses vetores que resulte no vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente dependente. Dizemos que os vetores são linearmente dependentes se existe uma combinação linear deles igual a zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero. Em termos matemáticos, queremos encontrar escalares
,
e
, não todos zero, tais que:
Vamos escrever isso de forma mais detalhada usando as componentes dos vetores:
Passo 3
Agora, vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dará um sistema de equações lineares:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
-
Quarta componente:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
. Nosso objetivo é mostrar que existe uma solução onde pelo menos um dos coeficientes não é zero.
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos
na terceira equação:
Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar denominadores:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Então, temos:
Agora, vamos escolher
para facilitar os cálculos (podemos escolher qualquer valor, exceto zero):
Portanto, uma solução não trivial é
,
, e
.
Passo 6
Por último, vamos verificar se esses valores satisfazem todas as equações do sistema. Vamos substituir
,
e
na quarta equação:
Funcionou! Isso confirma que encontramos uma combinação não trivial que satisfaz o sistema, ou seja:
Resposta
Os vetores
,
e
são linearmente dependentes, já que existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.
Exercícios relacionados
Sejam
e
vetores em
. Escreva o vetor
como combinação linear de u e v;
Sejam
,
e
. Determine o vetor
tal que:
.
Usando os diagramas de bandas de energia, explique as propriedades dos (i) condutores, (ii) os semicondutores e os (iii) isolantes.
Prove que
é LD, quaisquer que sejam
.