Mostre que os três vetores , e formam um conjunto linearmente dependente em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é mostrar que os três vetores , e são linearmente dependentes em . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinação linear e dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se existe uma combinação não trivial desses vetores que resulte no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente dependente. Dizemos que os vetores são linearmente dependentes se existe uma combinação linear deles igual a zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero. Em termos matemáticos, queremos encontrar escalares , e , não todos zero, tais que:
Vamos escrever isso de forma mais detalhada usando as componentes dos vetores:

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dará um sistema de equações lineares:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:
  4. Quarta componente:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Nosso objetivo é mostrar que existe uma solução onde pelo menos um dos coeficientes não é zero.
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar denominadores:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão de :
Então, temos:
Agora, vamos escolher para facilitar os cálculos (podemos escolher qualquer valor, exceto zero):
Portanto, uma solução não trivial é , , e .

Passo 6

Por último, vamos verificar se esses valores satisfazem todas as equações do sistema. Vamos substituir , e na quarta equação:
Funcionou! Isso confirma que encontramos uma combinação não trivial que satisfaz o sistema, ou seja:

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes, já que existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.

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