Mostre que os três vetores v1=(0,3,1,-1), v2=(6,0,5,1) e v3=(4,-7,1,3) formam um conjunto linearmente dependente em R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é mostrar que os três vetores v1=(0,3,1,-1), v2=(6,0,5,1) e v3=(4,-7,1,3) são linearmente dependentes em R^4. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinação linear e dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se existe uma combinação não trivial desses vetores que resulte no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente dependente. Dizemos que os vetores são linearmente dependentes se existe uma combinação linear deles igual a zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero. Em termos matemáticos, queremos encontrar escalares c1, c2 e c3, não todos zero, tais que:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0
Vamos escrever isso de forma mais detalhada usando as componentes dos vetores:
c1 (0, 3, 1, -1) + c2 (6, 0, 5, 1) + c3 (4, -7, 1, 3) = (0, 0, 0, 0)

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dará um sistema de equações lineares:
  1. Primeira componente:
    0 cdot c1 + 6 cdot c2 + 4 cdot c3 = 0 Rightarrow 6c2 + 4c3 = 0
  2. Segunda componente:
    3 cdot c1 + 0 cdot c2 -7 cdot c3 = 0 Rightarrow 3c1 - 7c3 = 0
  3. Terceira componente:
    1 cdot c1 + 5 cdot c2 + 1 cdot c3 = 0 Rightarrow c1 + 5c2 + c3 = 0
  4. Quarta componente:
    -1 cdot c1 + 1 cdot c2 + 3 cdot c3 = 0 Rightarrow -c1 + c2 + 3c3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de c1, c2 e c3. Nosso objetivo é mostrar que existe uma solução onde pelo menos um dos coeficientes não é zero.
Primeiro, da segunda equação:
3c1 - 7c3 = 0 Rightarrow c1 = 73c3
Agora, substituímos c1 na terceira equação:
73c3 + 5c2 + c3 = 0 Rightarrow (73 + 1)c3 + 5c2 = 0 Rightarrow 103c3 + 5c2 = 0
Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar denominadores:
10c3 + 15c2 = 0 Rightarrow 10c3 = -15c2 Rightarrow c3 = -32c2

Passo 5

Agora, substituímos c3 = -32c2 na expressão de c1:
c1 = 73c3 = 73 (-32c2) = -72c2
Então, temos:
c1 = -72c2 e c3 = -32c2
Agora, vamos escolher c2 = 2 para facilitar os cálculos (podemos escolher qualquer valor, exceto zero):
c1 = -72 cdot 2 = -7 c3 = -32 cdot 2 = -3
Portanto, uma solução não trivial é c1 = -7, c2 = 2, e c3 = -3.

Passo 6

Por último, vamos verificar se esses valores satisfazem todas as equações do sistema. Vamos substituir c1 = -7, c2 = 2 e c3 = -3 na quarta equação:
-(-7) + 2 + 3(-3) = 7 + 2 - 9 = 0
Funcionou! Isso confirma que encontramos uma combinação não trivial que satisfaz o sistema, ou seja:
-7v1 + 2v2 - 3v3 = 0

Resposta

Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes, já que existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero.

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