Sejam u=(2,-3,2) e v=(-1,2,4) vetores em R^3. Escreva o vetor w=(7,-11,2) como combinação linear de u e v;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores w = a cdot u + b cdot v e no espaço tridimensional . Queremos escrever o vetor como uma combinação linear desses vetores, ou seja, encontrar números e tais que:
Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Vamos escrever a equação 7 = 2a - b -11 = -3a + 2b 2 = 2a + 4b em termos das componentes dos vetores. Isso nos dá um sistema de três equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 7 = 2a - b Rightarrow b = 2a - 7 e -11 = -3a + 2(2a - 7) -11 = -3a + 4a - 14 -11 = a - 14 a = 3 . Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou usar a eliminação aqui.
Primeiro, da primeira equação:
b = 2(3) - 7 b = 6 - 7 b = -1
Substituindo na segunda equação:
Agora que temos , substituímos na expressão de :

Resposta

O vetor w = 3 cdot u - 1 cdot v pode ser escrito como combinação linear de e da seguinte forma:

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