(a) Mostre que o triângulo com vértices
e
é um triângulo retângulo usando a recíproca do Teorema de Pitágoras.
(b) Use as inclinações para mostrar que
é um triângulo retângulo.
© Determine a área do triângulo.
(b) Use as inclinações para mostrar que
© Determine a área do triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com os vértices em A(6, -7), B(11, -3) e C(2, -2). A tarefa é mostrar que esse triângulo é retângulo de três maneiras diferentes: usando a recíproca do Teorema de Pitágoras, usando as inclinações das retas e, por último, calcular a área do triângulo. Para resolver isso, vamos precisar calcular distâncias entre pontos, inclinações das retas e aplicar algumas fórmulas geométricas básicas.
Passo 2
Parte (a): Usando a recíproca do Teorema de Pitágoras
Primeiro, vamos calcular os comprimentos dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 3
Calculando a distância entre A e B:
Passo 4
Calculando a distância entre B e C:
Passo 5
Calculando a distância entre A e C:
Passo 6
Agora, observamos que:
Vamos verificar se algum dos lados satisfaz a relação do Teorema de Pitágoras:
Como a igualdade se confirma, pelo Teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo.
Passo 7
Parte (b): Usando as inclinações das retas
Agora, vamos calcular as inclinações (coeficientes angulares) das retas AB, BC e AC. O coeficiente angular
de uma reta que passa por dois pontos
e
é dado por:
Passo 8
Calculando a inclinação de AB:
Passo 9
Calculando a inclinação de BC:
Passo 10
Calculando a inclinação de AC:
Passo 11
Para saber se duas retas são perpendiculares, os produtos dos seus coeficientes angulares devem ser iguais a -1:
Vamos verificar os produtos:
Passo 12
Como apenas
, as retas AB e AC são perpendiculares. Portanto, o triângulo ABC é retângulo.
Passo 13
Parte ©: Determinando a área do triângulo
Para calcular a área de um triângulo definido por três pontos no plano, podemos usar a fórmula da área pelo determinante:
Passo 14
Substituindo os valores:
Passo 15
Simplificando dentro dos parênteses:
Resposta
A área do triângulo ABC é 20,5 unidades de área.
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial dada abaixo:
Obtenha a solução
correspondente à maior raiz da equação indicial.
Passa pelo ponto
, inclinação
Calcule:
Calcule: