(a) Mostre que o triângulo com vértices e é um triângulo retângulo usando a recíproca do Teorema de Pitágoras.
(b) Use as inclinações para mostrar que é um triângulo retângulo.
© Determine a área do triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo com os vértices em A(6, -7), B(11, -3) e C(2, -2). A tarefa é mostrar que esse triângulo é retângulo de três maneiras diferentes: usando a recíproca do Teorema de Pitágoras, usando as inclinações das retas e, por último, calcular a área do triângulo. Para resolver isso, vamos precisar calcular distâncias entre pontos, inclinações das retas e aplicar algumas fórmulas geométricas básicas.

Passo 2

Parte (a): Usando a recíproca do Teorema de Pitágoras
Primeiro, vamos calcular os comprimentos dos lados do triângulo usando a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 3

Calculando a distância entre A e B:

Passo 4

Calculando a distância entre B e C:

Passo 5

Calculando a distância entre A e C:

Passo 6

Agora, observamos que:
Vamos verificar se algum dos lados satisfaz a relação do Teorema de Pitágoras:
Como a igualdade se confirma, pelo Teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo.

Passo 7

Parte (b): Usando as inclinações das retas
Agora, vamos calcular as inclinações (coeficientes angulares) das retas AB, BC e AC. O coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos e é dado por:

Passo 8

Calculando a inclinação de AB:

Passo 9

Calculando a inclinação de BC:

Passo 10

Calculando a inclinação de AC:

Passo 11

Para saber se duas retas são perpendiculares, os produtos dos seus coeficientes angulares devem ser iguais a -1:
Vamos verificar os produtos:

Passo 12

Como apenas , as retas AB e AC são perpendiculares. Portanto, o triângulo ABC é retângulo.

Passo 13

Parte ©: Determinando a área do triângulo
Para calcular a área de um triângulo definido por três pontos no plano, podemos usar a fórmula da área pelo determinante:
Á

Passo 14

Substituindo os valores:
Á

Passo 15

Simplificando dentro dos parênteses:

Resposta

A área do triângulo ABC é 20,5 unidades de área.

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Considere a equação diferencial dada abaixo:
Obtenha a solução correspondente à maior raiz da equação indicial.
Passa pelo ponto , inclinação
Calcule:
Calcule: