Considere a equação diferencial dada abaixo:
2 x^2 y''(x) + (x - x^2) y'(x) - y(x) = 0, x in (0, infinito)
Obtenha a solução y1(x) correspondente à maior raiz da equação indicial.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver esse tipo de equação, especialmente quando os coeficientes não são constantes, a gente pode usar métodos como o de Frobenius, que nos ajuda a encontrar soluções perto de pontos singulares. Precisaremos também entender sobre a equação indicial, que nos ajuda a determinar as raízes que vão definir a forma das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. Observando os termos, vemos que os coeficientes dependem de , então não é uma equação com coeficientes constantes. Além disso, o termo sugere que podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos procurar uma solução na forma de uma série de potências usando o método de Frobenius. Assumimos que a solução pode ser escrita como:
Onde é uma constante que precisamos determinar, e são os coeficientes da série.

Passo 4

Para encontrar , substituímos a série na equação diferencial e igualamos os termos de menor grau a zero, o que nos leva à equação indicial. Vamos calcular os primeiros termos:
Primeiro, derivamos :

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial, temos:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, juntamos os termos semelhantes para encontrar a equação indicial, que vem dos termos de menor grau (quando ):
Fatorando :
Como e , temos:
Simplificando:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática para :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 8

A questão pede a solução correspondente à maior raiz da equação indicial, que é . Agora, vamos construir a solução básica usando :

Passo 9

Para determinar os coeficientes , substituímos a série na equação diferencial e igualamos os coeficientes de cada potência de a zero. Porém, como a questão pede apenas a forma geral da solução, podemos apresentar a solução básica encontrada:

Resposta

A solução correspondente à maior raiz da equação indicial é:

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