Considere a equação diferencial dada abaixo:
Obtenha a solução
correspondente à maior raiz da equação indicial.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver esse tipo de equação, especialmente quando os coeficientes não são constantes, a gente pode usar métodos como o de Frobenius, que nos ajuda a encontrar soluções perto de pontos singulares. Precisaremos também entender sobre a equação indicial, que nos ajuda a determinar as raízes que vão definir a forma das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. Observando os termos, vemos que os coeficientes dependem de
, então não é uma equação com coeficientes constantes. Além disso, o termo
sugere que podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos procurar uma solução na forma de uma série de potências usando o método de Frobenius. Assumimos que a solução pode ser escrita como:
Onde
é uma constante que precisamos determinar, e
são os coeficientes da série.
Passo 4
Para encontrar
, substituímos a série na equação diferencial e igualamos os termos de menor grau a zero, o que nos leva à equação indicial. Vamos calcular os primeiros termos:
Primeiro, derivamos
:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação diferencial, temos:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, juntamos os termos semelhantes para encontrar a equação indicial, que vem dos termos de menor grau (quando
):
Fatorando
:
Como
e
, temos:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática
para
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 8
A questão pede a solução correspondente à maior raiz da equação indicial, que é
. Agora, vamos construir a solução básica usando
:
Passo 9
Para determinar os coeficientes
, substituímos a série na equação diferencial e igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero. Porém, como a questão pede apenas a forma geral da solução, podemos apresentar a solução básica encontrada:
Resposta
A solução
correspondente à maior raiz da equação indicial é:
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Passa pelo ponto
, inclinação
(a) Mostre que os pontos
e
são colineares (pertencem à mesma reta) mostrando que
.
(b) Use as inclinações para mostrar que , e
são colineares.
(b) Use as inclinações para mostrar que
(a) Mostre que o triângulo com vértices
e
é um triângulo retângulo usando a recíproca do Teorema de Pitágoras.
(b) Use as inclinações para mostrar que é um triângulo retângulo.
© Determine a área do triângulo.
(b) Use as inclinações para mostrar que
© Determine a área do triângulo.
Calcule: