Mostre que:
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é:
rho(x)=rho0 exp (-kappa raizx^2), expresse o resultado em coordenadas retangulares,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é dada por rho(x) = rho0 exp(-kappa |x|). Vamos resolver isso utilizando coordenadas retangulares. A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa na eletrostática que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a simetria do problema. A densidade de carga depende apenas da posição x, o que sugere que a distribuição é simétrica ao longo do eixo x. Isso significa que o campo elétrico provavelmente também dependerá apenas de x e apontará na direção x.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Para esse tipo de simetria, uma “caixa” retangular centrada na origem ao longo do eixo x é apropriada. A superfície gaussiana será composta por dois planos perpendiculares ao eixo x, um em x = a e outro em x = -a, onde a é uma distância qualquer a partir da origem.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
oint E cdot dA = Qintvarepsilon0
Onde E é o campo elétrico, dA é o elemento de área da superfície gaussiana, Qint é a carga total dentro da superfície e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Devido à simetria, o campo elétrico E será perpendicular às superfícies dos planos gaussianos e terá a mesma magnitude em ambos os planos. Assim, o fluxo elétrico total é:
oint E cdot dA = E cdot A + E cdot A = 2EA
Onde A é a área de cada plano.

Passo 6

Agora, vamos calcular a carga total Qint dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é:
rho(x) = rho0 e^-kappa |x|
A carga total entre -a e a é:
Qint = integral-a^a rho(x) cdot A , dx = rho0 A integral-a^a e^-kappa |x| dx

Passo 7

Calculando a integral:
integral-a^a e^-kappa |x| dx = 2 integral0^a e^-kappa x dx = 2 [ -1kappa e^-kappa x ]0^a = 2kappa (1 - e^-kappa a)
Então,
Qint = rho0 A cdot 2kappa (1 - e^-kappa a)

Passo 8

Substituindo Qint na Lei de Gauss:
2EA = rho0 Avarepsilon0 cdot 2kappa (1 - e^-kappa a)
Simplificando os termos A e os fatores 2:
E = rho0varepsilon0 kappa (1 - e^-kappa a)

Passo 9

Finalmente, para encontrar o campo elétrico em x = a, consideramos o limite quando a to infty:
E = rho0varepsilon0 kappa

Resposta

O campo elétrico é dado por $ E = \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0 \kappa} $ nas coordenadas retangulares.

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