Mostre que:
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é:
, expresse o resultado em coordenadas retangulares,
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é dada por
. Vamos resolver isso utilizando coordenadas retangulares. A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa na eletrostática que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a simetria do problema. A densidade de carga depende apenas da posição
, o que sugere que a distribuição é simétrica ao longo do eixo
. Isso significa que o campo elétrico provavelmente também dependerá apenas de
e apontará na direção
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada. Para esse tipo de simetria, uma “caixa” retangular centrada na origem ao longo do eixo
é apropriada. A superfície gaussiana será composta por dois planos perpendiculares ao eixo
, um em
e outro em
, onde
é uma distância qualquer a partir da origem.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Onde
é o campo elétrico,
é o elemento de área da superfície gaussiana,
é a carga total dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Devido à simetria, o campo elétrico
será perpendicular às superfícies dos planos gaussianos e terá a mesma magnitude em ambos os planos. Assim, o fluxo elétrico total é:
Onde
é a área de cada plano.
Passo 6
Agora, vamos calcular a carga total
dentro da superfície gaussiana. A densidade de carga é:
A carga total entre
e
é:
Passo 7
Calculando a integral:
Então,
Passo 8
Substituindo
na Lei de Gauss:
Simplificando os termos
e os fatores 2:
Passo 9
Finalmente, para encontrar o campo elétrico em
, consideramos o limite quando
:
Resposta
O campo elétrico é dado por $ E = \dfrac{\rho_0}{\varepsilon_0 \kappa} $ nas coordenadas retangulares.