Mostre que:
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é:
, expresse o resultado em coordenadas esféricas
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é dada por
. Vamos trabalhar em coordenadas esféricas, que são super úteis quando a situação tem simetria radial, ou seja, igual em todas as direções a partir do centro.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Lei de Gauss: relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
- Coordenadas esféricas: facilitam os cálculos quando temos simetria radial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss, que é dada por:
Aqui,
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície fechada,
é a carga total dentro dessa superfície, e
é a constante de permissividade do vácuo.
Como a densidade de carga é simétrica e depende apenas da distância do centro, faz sentido escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio
.
Passo 3
Vamos definir nossa superfície gaussiana como uma esfera de raio
em coordenadas esféricas. Nessa situação, o campo elétrico
será radial e terá a mesma magnitude em todos os pontos da esfera devido à simetria. Portanto, a integral do lado esquerdo da Lei de Gauss simplifica para:
Aqui,
é a área de uma esfera de raio
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a carga total
dentro da esfera de raio
. A carga é distribuída de acordo com a densidade:
Para achar
, integramos a densidade de carga sobre o volume da esfera:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão que podemos resolver por partes ou usando uma tabela de integrais. O resultado é:
Avaliada de
a
:
Passo 6
Substituindo de volta em
:
Passo 7
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Isolando
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico em coordenadas esféricas é dado por: