Mostre que:
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é:
rho(x, y, z)=rho0 exp (-kappa raizx^2+y^2+z^2), expresse o resultado em coordenadas esféricas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é dada por rho(x, y, z)=rho0 exp (-kappa raizx^2+y^2+z^2). Vamos trabalhar em coordenadas esféricas, que são super úteis quando a situação tem simetria radial, ou seja, igual em todas as direções a partir do centro.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Lei de Gauss: relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
  • Coordenadas esféricas: facilitam os cálculos quando temos simetria radial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss, que é dada por:
ointsuperfície E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 í
Aqui, E é o campo elétrico, dA é um elemento de área da superfície fechada, Qdentro é a carga total dentro dessa superfície, e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.
Como a densidade de carga é simétrica e depende apenas da distância do centro, faz sentido escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio r.

Passo 3

Vamos definir nossa superfície gaussiana como uma esfera de raio r em coordenadas esféricas. Nessa situação, o campo elétrico E será radial e terá a mesma magnitude em todos os pontos da esfera devido à simetria. Portanto, a integral do lado esquerdo da Lei de Gauss simplifica para:
ointsuperfície E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2 í
Aqui, 4pi r^2 é a área de uma esfera de raio r.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a carga total Qdentro dentro da esfera de raio r. A carga é distribuída de acordo com a densidade:
rho(r) = rho0 exp(-kappa r)
Para achar Qdentro, integramos a densidade de carga sobre o volume da esfera:
Qdentro = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi rho0 integral0^r r'^2 exp(-kappa r') dr'

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral r'^2 e^-kappa r' dr'
Essa é uma integral padrão que podemos resolver por partes ou usando uma tabela de integrais. O resultado é:
integral r'^2 e^-kappa r' dr' = ( -r'^2kappa - 2r'kappa^2 - 2kappa^3 ) e^-kappa r' + 2kappa^3
Avaliada de 0 a r:
= ( -r^2kappa - 2rkappa^2 - 2kappa^3 ) e^-kappa r + 2kappa^3

Passo 6

Substituindo de volta em Qdentro:
Qdentro = 4pi rho0 [ ( -r^2kappa - 2rkappa^2 - 2kappa^3 ) e^-kappa r + 2kappa^3 ]

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qdentrovarepsilon0
Isolando E(r):
E(r) = Qdentro4pi varepsilon0 r^2
Substituindo Qdentro:
E(r) = 4pi rho0 [ ( -r^2kappa - 2rkappa^2 - 2kappa^3 ) e^-kappa r + 2kappa^3 ]4pi varepsilon0 r^2
Simplificando:
E(r) = rho0varepsilon0 r^2 [ ( -r^2kappa - 2rkappa^2 - 2kappa^3 ) e^-kappa r + 2kappa^3 ]

Resposta

O campo elétrico em coordenadas esféricas é dado por:
E(r) = rho0varepsilon0 r^2 [ ( -r^2kappa - 2rkappa^2 - 2kappa^3 ) e^-kappa r + 2kappa^3 ]

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