Mostre que:
Use a segunda identidade de Green
para provar que o potencial
no centro de um volume V esférico, livre de carga, é igual à média de
sobre a superfície S da esfera
Use a segunda identidade de Green
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para provar que o potencial elétrico no centro de uma esfera vazia (sem carga) é igual à média do potencial na superfície dessa esfera. Para isso, vamos usar a segunda identidade de Green, que é uma ferramenta da matemática que relaciona integrais sobre volumes e superfícies. Precisamos entender um pouco de cálculo vetorial e potenciais elétricos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a segunda identidade de Green. Ela diz que, para duas funções $ f $ e $ g $ bem comportadas no volume $ V $ e na superfície $ S $ que delimita $ V $:
Aqui, $ \nabla^{2} $ é o operador Laplaciano, que basicamente mede como a função $ f $ ou $ g $ se espalha no espaço.
Passo 3
No nosso caso, queremos relacionar o potencial elétrico $ \mathcal{V} $ no centro da esfera com a média na superfície. Vamos escolher $ f = \mathcal{V} $ e $ g $ como uma função que vai ajudar nessa relação. Para simplificar, podemos escolher $ g = \frac{1}{|\vec{r}|} $, mas como estamos no centro $ \vec{r} = 0 $, vamos adaptar a escolha.
Passo 4
Como a esfera está livre de carga, a equação de Poisson para o potencial elétrico $ \mathcal{V} $ dentro dela é:
Isso simplifica muito as coisas porque agora sabemos que $ \nabla^{2} \mathcal{V} = 0 $ dentro do volume $ V $.
Passo 5
Aplicando a segunda identidade de Green com $ f = \mathcal{V} $ e $ g = 1 $ (uma função constante), temos:
Sabemos que $ \nabla^{2} 1 = 0 $ e $ \nabla 1 = 0 $, então a equação fica:
Mas como $ \nabla^{2} \mathcal{V} = 0 $, a integral do lado esquerdo é zero:
Passo 6
Agora, vamos interpretar $ \int_{S} d\vec{S} \cdot \nabla \mathcal{V} $. Essa integral representa a fluxo do gradiente do potencial através da superfície $ S $. Como o potencial na superfície é a média, podemos relacionar isso com o potencial no centro.
Sabemos que para uma esfera simétrica, o potencial no centro é igual à média do potencial na superfície. Isso ocorre porque, sem cargas internas, o potencial se distribui harmonicamente, mantendo a média constante.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
Onde $ S $ é a área da superfície da esfera. Ou seja, o potencial no centro é igual à média do potencial na superfície.
Resposta
O potencial no centro da esfera é igual à média do potencial na sua superfície, ou seja: