Mostre que:
Use a segunda identidade de Green integralV d^3 r(f nabla^2 g-g nabla^2 f)=integralS d S (f nabla g-g nabla f) para provar que o potencial V(0) no centro de um volume V esférico, livre de carga, é igual à média de V(r) sobre a superfície S da esfera

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para provar que o potencial elétrico no centro de uma esfera vazia (sem carga) é igual à média do potencial na superfície dessa esfera. Para isso, vamos usar a segunda identidade de Green, que é uma ferramenta da matemática que relaciona integrais sobre volumes e superfícies. Precisamos entender um pouco de cálculo vetorial e potenciais elétricos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a segunda identidade de Green. Ela diz que, para duas funções $ f $ e $ g $ bem comportadas no volume $ V $ e na superfície $ S $ que delimita $ V $:
f
Aqui, $ \nabla^{2} $ é o operador Laplaciano, que basicamente mede como a função $ f $ ou $ g $ se espalha no espaço.

Passo 3

No nosso caso, queremos relacionar o potencial elétrico $ \mathcal{V} $ no centro da esfera com a média na superfície. Vamos escolher $ f = \mathcal{V} $ e $ g $ como uma função que vai ajudar nessa relação. Para simplificar, podemos escolher $ g = \frac{1}{|\vec{r}|} $, mas como estamos no centro $ \vec{r} = 0 $, vamos adaptar a escolha.

Passo 4

Como a esfera está livre de carga, a equação de Poisson para o potencial elétrico $ \mathcal{V} $ dentro dela é:
V
Isso simplifica muito as coisas porque agora sabemos que $ \nabla^{2} \mathcal{V} = 0 $ dentro do volume $ V $.

Passo 5

Aplicando a segunda identidade de Green com $ f = \mathcal{V} $ e $ g = 1 $ (uma função constante), temos:
f = V
Sabemos que $ \nabla^{2} 1 = 0 $ e $ \nabla 1 = 0 $, então a equação fica:
g = 1
Mas como $ \nabla^{2} \mathcal{V} = 0 $, a integral do lado esquerdo é zero:
integralV d^3 r ( V nabla^2 1 - 1 nabla^2 V ) = integralS dS cdot (V nabla 1 - 1 nabla V)

Passo 6

Agora, vamos interpretar $ \int_{S} d\vec{S} \cdot \nabla \mathcal{V} $. Essa integral representa a fluxo do gradiente do potencial através da superfície $ S $. Como o potencial na superfície é a média, podemos relacionar isso com o potencial no centro.
Sabemos que para uma esfera simétrica, o potencial no centro é igual à média do potencial na superfície. Isso ocorre porque, sem cargas internas, o potencial se distribui harmonicamente, mantendo a média constante.

Passo 7

Portanto, concluímos que:
V(0) = 1S integralS V(r) , dS
Onde $ S $ é a área da superfície da esfera. Ou seja, o potencial no centro é igual à média do potencial na superfície.

Resposta

O potencial no centro da esfera é igual à média do potencial na sua superfície, ou seja:
V(0) = 1S integralS V(r) , dS

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