Mostre que a velocidade de escape do Sol na distância da Terra ao Sol é 2 vezes a velocidade da Terra em sua órbita, suposta ser um círculo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que a velocidade de escape do Sol na distância da Terra ao Sol é 2 vezes a velocidade da Terra em sua órbita, assumindo que a órbita seja circular. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de velocidade de escape e velocidade orbital.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade de escape. É a velocidade mínima que um objeto precisa ter para escapar da atração gravitacional de um corpo celeste sem mais propulsão. A fórmula para calcular a velocidade de escape ( vesc = raiz2GMR ) é:
Onde:
  • é a constante gravitacional ( )
  • é a massa do Sol ( )
  • é a distância entre a Terra e o Sol (~ )

Passo 3

Agora, vamos ver a velocidade orbital ( vorb = raizGMR ) da Terra. É a velocidade com que a Terra se move ao redor do Sol em uma órbita circular. A fórmula para a velocidade orbital é:
Perceba que a única diferença entre as duas fórmulas é a presença do fator 2 dentro da raiz quadrada para a velocidade de escape.

Passo 4

Agora, vamos relacionar as duas velocidades. Dividindo a velocidade de escape pela velocidade orbital, temos:
vescvorb = raiz2GMRraizGMR
Simplificando a expressão:
vescvorb = raiz2

Passo 5

Calculando o valor de , que é aproximadamente 1,414. Isso significa que a velocidade de escape é cerca de 1,414 vezes a velocidade orbital da Terra.

Resposta

A velocidade de escape do Sol na distância da Terra ao Sol é aproximadamente 1,414 vezes a velocidade da Terra em sua órbita circular.

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