Um motor em funcionamento gera uma força harmônica devido ao desbalanceamento de F(t)=350sen(45t + Ø)N. Tem-se que o motor tem uma massa de 480kg e está montado sobre uma superfície suportada por 4 molas de 2300N/m cada. Determine a razão de frequências ao qual o sistema está operando. Assinale a alternativa que representa a razão de frequência do sistema. Alternativas:
a) 10,274
b) 12,275
c) 13,754
d) 14,250
e) 15,875.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um motor que está funcionando e gerando uma força harmônica por causa de um desbalanceamento. A força é dada por $ F(t) = 350\sin(45t + \phi) $ N. O motor tem uma massa de 480 kg e está apoiado em 4 molas, cada uma com uma constante elástica de 2300 N/m. Nosso objetivo é descobrir a razão entre a frequência de operação do sistema e a frequência natural dele. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vibrações mecânicas, especificamente sobre frequência natural e frequência de excitação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência natural do sistema. A frequência natural é a frequência com que o sistema vibra quando não há forças externas atuando (como se ele fosse solto e começasse a oscilar sozinho).
Para isso, precisamos encontrar a constante elástica total das molas. Como temos 4 molas de 2300 N/m cada, a constante total ( ktotal) é:
ktotal = 4 times 2300 , N/m = 9200 , N/m
Agora, usamos a fórmula da frequência natural angular ( omegan):
omegan = raizktotalm
Onde:
  • ktotal = 9200 , N/m
  • m = 480 , kg
Substituindo os valores:
omegan = raiz9200480 approx raiz19,1667 approx 4,376 , rad/s
Para converter para frequência em Hz ( fn):
fn = omegan2pi approx 4,3766,2832 approx 0,696 , Hz

Passo 3

Agora, vamos identificar a frequência de excitação gerada pelo motor. A força harmônica é dada por $ F(t) = 350\sin(45t + \phi) F(t) = 350sin(45t + phi) úáéêç\omega$).
omega
Para converter para frequência em Hz ( omega = 45 , rad/s ):
f

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão de frequências ( r) entre a frequência de excitação e a frequência natural do sistema.
r = ffn = 7,1640,696 approx 10,28

Passo 5

Por fim, vamos comparar o valor obtido com as alternativas fornecidas:
a) 10,274
b) 12,275
c) 13,754
d) 14,250
e) 15,875
O valor calculado de aproximadamente 10,28 está mais próximo da alternativa a) 10,274.

Resposta

A razão de frequência do sistema é 10,274.

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