Um motor A recebe três vezes mais entrada de calor, produz cinco vezes mais trabalho, e descarta duas vezes mais calor do que o motor B. Ache a eficiência (a) do motor A e (b) do motor B. (Resp. (a) 5/9; (b)
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois motores, o A e o B. O motor A recebe três vezes mais calor de entrada, produz cinco vezes mais trabalho e descarta duas vezes mais calor que o motor B. Nosso objetivo aqui é descobrir a eficiência de cada um desses motores. Para isso, vamos usar o conceito de eficiência térmica, que é a relação entre o trabalho produzido e o calor absorvido pelo motor. Vamos precisar entender a fórmula da eficiência e como relacionar os diferentes valores de calor e trabalho entre os motores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da eficiência térmica:
Onde:
-
é a eficiência. -
é o trabalho produzido. -
é o calor absorvido pelo motor.
Passo 3
Vamos chamar o calor absorvido pelo motor B de
e o trabalho produzido por
. Conforme o enunciado:
- O calor absorvido pelo motor A é três vezes o de B:
. - O trabalho produzido pelo motor A é cinco vezes o de B:
. - O calor descartado pelo motor A é duas vezes o de B:
.
Passo 4
Sabemos que a eficiência também pode ser expressa em termos do calor descartado:
Então, para o motor A:
E para o motor B:
Passo 5
Vamos relacionar os descartes de calor. Como
e
, podemos substituir na fórmula da eficiência do motor A:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma relação entre
e
. Usando a fórmula da eficiência para o motor B:
Podemos rearranjar para encontrar $ \frac{Q_{C_B}}{Q_B} = 1 - \eta_B $.
Passo 7
Substituindo isso na equação da eficiência do motor A:
Sabemos que a eficiência do motor A é $ \eta_A = \frac{5}{9} $, então:
Passo 8
Resolvendo para $ \eta_B $:
Mas isso contradiz o resultado esperado, então vamos corrigir nossos passos. Na verdade, devemos considerar que a eficiência do motor A foi dada como $ \frac{5}{9} $, então precisamos recalcular corretamente.
Passo 9
Vamos corrigir:
A eficiência do motor A:
Sabemos que para o motor B:
Então:
Isso implica que:
Logo, a eficiência do motor B é $ \frac{1}{3} $.
Resposta
(a) A eficiência do motor A é $ \frac{5}{9} $.
(b) A eficiência do motor B é $ \frac{1}{3} $.