Um motor térmico possui como agente um mol de um gás ideal de constante adiabática
. O motor opera entre duas fontes, através do seguinte ciclo:
:
Processo isocórico de
até
: Expansão isobárica de
até
;
: Processo isocórico de
até
: Compressão isobárica de
até
. Verifique a desigualdade de Clausius,
, para o gás.
Processo isocórico de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um motor térmico que utiliza um mol de um gás ideal com constante adiabática
. Esse motor funciona em um ciclo com quatro etapas específicas: dois processos isocóricos (volume constante) e dois processos isobáricos (pressão constante). A tarefa é verificar a desigualdade de Clausius, que é dada por:
Para resolver isso, precisamos entender os processos térmicos envolvidos, calcular as trocas de calor em cada etapa e, por fim, verificar se a desigualdade de Clausius é satisfeita nesse ciclo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a desigualdade de Clausius. Ela está relacionada à segunda lei da termodinâmica e afirma que para qualquer ciclo termodinâmico:
Aqui,
é a troca de calor e
é a temperatura das fontes de calor envolvidas. Para verificar essa desigualdade, precisamos calcular a integral do calor dividido pela temperatura ao longo de todo o ciclo.
Passo 3
Vamos analisar cada processo do ciclo:
-
Processo a → b (Isocórico):
- Volume constante:
. - Pressão aumenta de
para .
- Volume constante:
-
Processo b → c (Isobárico):
- Pressão constante:
. - Volume aumenta de
para .
- Pressão constante:
-
Processo c → d (Isocórico):
- Volume constante:
. - Pressão diminui de
para .
- Volume constante:
-
Processo d → a (Isobárico):
- Pressão constante:
. - Volume diminui de
para .
- Pressão constante:
Passo 4
Agora, vamos calcular a troca de calor em cada processo. Para isso, precisamos das equações para processos isocóricos e isobáricos.
-
Processo Isocórico (Volume constante):Onde
é a capacidade calorífica a volume constante. -
Processo Isobárico (Pressão constante):Onde
é a capacidade calorífica a pressão constante.
Sabemos que para um gás ideal:
E a constante adiabática é:
Com
, podemos encontrar
e
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Também sabemos que para um mol de gás ideal:
Aqui,
é a constante dos gases.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as variações de temperatura (
) em cada processo. Usaremos a equação dos gases ideais:
Vamos calcular a temperatura em cada ponto:
-
Ponto a:
-
Ponto b:
-
Ponto c:
-
Ponto d:
Passo 7
Agora, vamos calcular a troca de calor em cada processo:
-
Processo a → b (Isocórico):
-
Processo b → c (Isobárico):
-
Processo c → d (Isocórico):
-
Processo d → a (Isobárico):
Passo 8
Agora, vamos calcular
para cada processo. Assumindo que as trocas de calor ocorrem às temperaturas das fontes envolvidas:
-
Processo a → b:
-
Processo b → c:
-
Processo c → d:
-
Processo d → a:
Passo 9
Agora, somamos todas essas contribuições para verificar a desigualdade de Clausius:
Resposta
A soma das trocas de calor divididas pelas respectivas temperaturas resulta em aproximadamente
, que é maior que zero. Portanto, a desigualdade de Clausius não é satisfeita para este ciclo:
Isso indica que há uma inconsistência no ciclo proposto com relação à segunda lei da termodinâmica.