Um motor térmico possui como agente um mol de um gás ideal de constante adiabática gamma=7 / 5. O motor opera entre duas fontes, através do seguinte ciclo: a b :
Processo isocórico de Pa=10^5 Pa até Pb=2 Pa ; b c : Expansão isobárica de Vb=20 cdot 10^-3 m^3 até Vc=32 Vb; c d : Processo isocórico de Pc=2 Pa até Pd=Pa ; d a : Compressão isobárica de Vd=32 Vb até Va=Vb. Verifique a desigualdade de Clausius, oint d QTF <= 0, para o gás.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um motor térmico que utiliza um mol de um gás ideal com constante adiabática gamma = 75. Esse motor funciona em um ciclo com quatro etapas específicas: dois processos isocóricos (volume constante) e dois processos isobáricos (pressão constante). A tarefa é verificar a desigualdade de Clausius, que é dada por:
oint dQTF <= 0
Para resolver isso, precisamos entender os processos térmicos envolvidos, calcular as trocas de calor em cada etapa e, por fim, verificar se a desigualdade de Clausius é satisfeita nesse ciclo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a desigualdade de Clausius. Ela está relacionada à segunda lei da termodinâmica e afirma que para qualquer ciclo termodinâmico:
oint dQTF <= 0
Aqui, dQ é a troca de calor e TF é a temperatura das fontes de calor envolvidas. Para verificar essa desigualdade, precisamos calcular a integral do calor dividido pela temperatura ao longo de todo o ciclo.

Passo 3

Vamos analisar cada processo do ciclo:
  1. Processo a → b (Isocórico):
    • Volume constante: Va = Vb = 20 times 10^-3 , m^3.
    • Pressão aumenta de Pa = 10^5 , Pa para Pb = 2Pa = 2 times 10^5 , Pa.
  2. Processo b → c (Isobárico):
    • Pressão constante: Pb = 2 times 10^5 , Pa.
    • Volume aumenta de Vb = 20 times 10^-3 , m^3 para Vc = 32 Vb = 30 times 10^-3 , m^3.
  3. Processo c → d (Isocórico):
    • Volume constante: Vc = Vd = 30 times 10^-3 , m^3.
    • Pressão diminui de Pc = 2Pa = 2 times 10^5 , Pa para Pd = Pa = 10^5 , Pa.
  4. Processo d → a (Isobárico):
    • Pressão constante: Pd = Pa = 10^5 , Pa.
    • Volume diminui de Vd = 30 times 10^-3 , m^3 para Va = 20 times 10^-3 , m^3.

Passo 4

Agora, vamos calcular a troca de calor em cada processo. Para isso, precisamos das equações para processos isocóricos e isobáricos.
  • Processo Isocórico (Volume constante):
    Q = n CV De
    Onde CV é a capacidade calorífica a volume constante.
  • Processo Isobárico (Pressão constante):
    Q = n CP De
    Onde CP é a capacidade calorífica a pressão constante.
Sabemos que para um gás ideal:
CP = CV + R
E a constante adiabática é:
gamma = CPCV
Com gamma = 75, podemos encontrar CV e CP.

Passo 5

Vamos calcular CV e CP:
gamma = CPCV = 75 Rightarrow CP = 75 CV
Também sabemos que para um mol de gás ideal:
CV = Rgamma - 1 = 8.31475 - 1 = 8.31425 = 20.785 , J/(mol·K)
CP = 75 times 20.785 = 29.099 , J/(mol·K)
Aqui, R = 8.314 , J/(mol·K) é a constante dos gases.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as variações de temperatura ( De) em cada processo. Usaremos a equação dos gases ideais:
PV = nRT Rightarrow T = PVnR
Vamos calcular a temperatura em cada ponto:
  • Ponto a:
    Ta = Pa Van R = 10^5 times 20 times 10^-31 times 8.314 approx 240.86 , K
  • Ponto b:
    Tb = Pb Vbn R = 2 times 10^5 times 20 times 10^-31 times 8.314 approx 481.72 , K
  • Ponto c:
    Tc = Pc Vcn R = 2 times 10^5 times 30 times 10^-31 times 8.314 approx 721.58 , K
  • Ponto d:
    Td = Pd Vdn R = 10^5 times 30 times 10^-31 times 8.314 approx 360.43 , K

Passo 7

Agora, vamos calcular a troca de calor em cada processo:
  1. Processo a → b (Isocórico):
    Qa b = n CV (Tb - Ta) = 1 times 20.785 times (481.72 - 240.86) approx 20.785 times 240.86 approx 5010 , J
  2. Processo b → c (Isobárico):
    Qb c = n CP (Tc - Tb) = 1 times 29.099 times (721.58 - 481.72) approx 29.099 times 239.86 approx 6972 , J
  3. Processo c → d (Isocórico):
    Qc d = n CV (Td - Tc) = 1 times 20.785 times (360.43 - 721.58) approx 20.785 times (-361.15) approx -7508 , J
  4. Processo d → a (Isobárico):
    Qd a = n CP (Ta - Td) = 1 times 29.099 times (240.86 - 360.43) approx 29.099 times (-119.57) approx -3478 , J

Passo 8

Agora, vamos calcular dQTF para cada processo. Assumindo que as trocas de calor ocorrem às temperaturas das fontes envolvidas:
  1. Processo a → b:
    Qa bTF = 5010240.86 approx 20.81
  2. Processo b → c:
    Qb cTF = 6972481.72 approx 14.47
  3. Processo c → d:
    Qc dTF = -7508721.58 approx -10.40
  4. Processo d → a:
    Qd aTF = -3478240.86 approx -14.43

Passo 9

Agora, somamos todas essas contribuições para verificar a desigualdade de Clausius:
oint dQTF = 20.81 + 14.47 - 10.40 - 14.43 approx 10.45

Resposta

A soma das trocas de calor divididas pelas respectivas temperaturas resulta em aproximadamente 10.45, que é maior que zero. Portanto, a desigualdade de Clausius não é satisfeita para este ciclo:
oint dQTF approx 10.45 n<= 0
Isso indica que há uma inconsistência no ciclo proposto com relação à segunda lei da termodinâmica.

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