Calcule a eficiência de um motor térmico operado por um gás ideal de constante adiabática gamma que realiza o seguinte ciclo: Expansão linear de (V0, P0) até (2 V0, 2 P0), resfriamento isocórico até atingir a pressão P0 e compressão isobárica até voltar ao estado inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a eficiência de um motor térmico que opera com um gás ideal e passa por um ciclo específico. Para isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica, como processos isocóricos (volume constante), isobáricos (pressão constante) e adiabáticos (sem troca de calor). Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o ciclo que o motor está realizando. Ele começa no ponto (V0, P0) e passa por três etapas:
  1. Expansão linear de (V0, P0) até (2V0, 2P0).
  2. Resfriamento isocórico (volume constante) até a pressão voltar a P0.
  3. Compressão isobárica (pressão constante) de volta ao estado inicial (V0, P0).
Vamos analisar cada uma dessas etapas para calcular o trabalho e o calor envolvidos.

Passo 3

1. Expansão Linear ( A B)
Durante a expansão linear, tanto o volume quanto a pressão aumentam proporcionalmente. A relação entre pressão e volume é dada por P = kV, onde k é uma constante.
Como a pressão e o volume dobram, podemos usar a expressão para o trabalho realizado em uma transformação linear:
WAB = integralV0^2V0 P , dV = integralV0^2V0 kV , dV = k [V^22]V0^2V0 = k ((2V0)^22 - V0^22) = 3kV0^22
Mas como P0 = kV0, substituindo, temos:
WAB = 3P0V02
2. Resfriamento Isocórico ( B C)
No resfriamento isocórico, o volume permanece constante ( V = 2V0) e a pressão diminui de 2P0 para P0. Como o volume não muda, o trabalho realizado é zero ( WBC = 0).
A variação de energia interna é igual ao calor removido:
De
3. Compressão Isobárica ( C A)
Na compressão isobárica, a pressão é constante ( P = P0) e o volume volta de 2V0 para V0.
O trabalho realizado durante a compressão é:
WCA = P0 (V0 - 2V0) = -P0V0
Esse trabalho é negativo porque o sistema está sendo comprimido.

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho total realizado no ciclo:
Wtotal = WAB + WBC + WCA = 3P0V02 + 0 - P0V0 = P0V02
Para calcular a eficiência, precisamos determinar o calor fornecido ao sistema ( Qin). Nesse ciclo, o calor é fornecido durante a expansão ( QAB).
Usando a primeira lei da termodinâmica:
QAB = De
Sabemos que para um gás ideal:
De
E relacionando com o processo adiabático:
De
Substituindo, temos:
QAB = nCVWABnCV + WAB = WAB + WAB = 2WAB = 3P0V0
Portanto, o calor fornecido é Qin = 3P0V0.

Passo 5

Agora, vamos calcular a eficiência ( eta) do ciclo usando a fórmula:
eta = WtotalQin = P0V023P0V0 = 16 approx 16,67%

Resposta

A eficiência do motor térmico é de aproximadamente 16,67%.

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