Calcule a eficiência de um motor térmico operado por um gás ideal de constante adiabática
que realiza o seguinte ciclo: Expansão linear de
até
, resfriamento isocórico até atingir a pressão
e compressão isobárica até voltar ao estado inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a eficiência de um motor térmico que opera com um gás ideal e passa por um ciclo específico. Para isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica, como processos isocóricos (volume constante), isobáricos (pressão constante) e adiabáticos (sem troca de calor). Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o ciclo que o motor está realizando. Ele começa no ponto
e passa por três etapas:
- Expansão linear de
até . - Resfriamento isocórico (volume constante) até a pressão voltar a
. - Compressão isobárica (pressão constante) de volta ao estado inicial
.
Vamos analisar cada uma dessas etapas para calcular o trabalho e o calor envolvidos.
Passo 3
1. Expansão Linear (
)
Durante a expansão linear, tanto o volume quanto a pressão aumentam proporcionalmente. A relação entre pressão e volume é dada por
, onde
é uma constante.
Como a pressão e o volume dobram, podemos usar a expressão para o trabalho realizado em uma transformação linear:
Mas como
, substituindo, temos:
2. Resfriamento Isocórico (
)
No resfriamento isocórico, o volume permanece constante (
) e a pressão diminui de
para
. Como o volume não muda, o trabalho realizado é zero (
).
A variação de energia interna é igual ao calor removido:
3. Compressão Isobárica (
)
Na compressão isobárica, a pressão é constante (
) e o volume volta de
para
.
O trabalho realizado durante a compressão é:
Esse trabalho é negativo porque o sistema está sendo comprimido.
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho total realizado no ciclo:
Para calcular a eficiência, precisamos determinar o calor fornecido ao sistema (
). Nesse ciclo, o calor é fornecido durante a expansão (
).
Usando a primeira lei da termodinâmica:
Sabemos que para um gás ideal:
E relacionando com o processo adiabático:
Substituindo, temos:
Portanto, o calor fornecido é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a eficiência (
) do ciclo usando a fórmula:
Resposta
A eficiência do motor térmico é de aproximadamente 16,67%.