O movimento de uma partícula é descrito pela equação x=3 sen 2 t+2,4 cos 2 t, onde x é expresso em metros e t em segundos. Determine (a) o período do movimento, (b) sua amplitude e © seu ângulo.
R a) 3 , 1 4 s b) 3 , 8 4 m , c ) 3 8 , 7 ^ circ .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula descrito pela equação $ x = 3 \sin 2t + 2,4 \cos 2t $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. A gente precisa descobrir três coisas: (a) o período do movimento, (b) a amplitude, e © o ângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e combinar as componentes seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o período do movimento. O período é o tempo que a partícula leva para completar um ciclo completo de movimento. Na equação, o termo dentro das funções trigonométricas é $ 2t $. Sabemos que o período $ T $ de uma função como $ \sin(bt) $ ou $ \cos(bt) $ é dado por:
2t
Aqui, $ b = 2 $, então:
T
Convertendo $ \pi $ para uma aproximação decimal:
sin(bt)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a amplitude do movimento. A amplitude é a distância máxima que a partícula alcança a partir da posição de equilíbrio. A equação tem duas componentes: uma de seno e outra de cosseno. Para combinar essas duas, usamos a fórmula da amplitude resultante:
A = raizA1^2 + A2^2
Onde $ A_1 = 3 $ e $ A_2 = 2,4 $. Então:
A1 = 3

Passo 4

Por fim, vamos determinar o ângulo $ \phi $ que representa a fase do movimento. Esse ângulo relaciona as componentes de seno e cosseno e pode ser encontrado usando a tangente:
phi
Então:
tan(phi) = A2A1 = 2,43

Resposta

a) $ T \approx 3,14 , segundos $
b) $ A \approx 3,84 , metros $
c) $ \phi \approx 38,7^\circ $

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