O movimento de uma partícula é descrito pela equação
, onde x é expresso em metros e t em segundos. Determine (a) o período do movimento, (b) sua amplitude e © seu ângulo.
R a)
b)
.
R a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula descrito pela equação $ x = 3 \sin 2t + 2,4 \cos 2t $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. A gente precisa descobrir três coisas: (a) o período do movimento, (b) a amplitude, e © o ângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e combinar as componentes seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o período do movimento. O período é o tempo que a partícula leva para completar um ciclo completo de movimento. Na equação, o termo dentro das funções trigonométricas é $ 2t $. Sabemos que o período $ T $ de uma função como $ \sin(bt) $ ou $ \cos(bt) $ é dado por:
Aqui, $ b = 2 $, então:
Convertendo $ \pi $ para uma aproximação decimal:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a amplitude do movimento. A amplitude é a distância máxima que a partícula alcança a partir da posição de equilíbrio. A equação tem duas componentes: uma de seno e outra de cosseno. Para combinar essas duas, usamos a fórmula da amplitude resultante:
Onde $ A_1 = 3 $ e $ A_2 = 2,4 $. Então:
Passo 4
Por fim, vamos determinar o ângulo $ \phi $ que representa a fase do movimento. Esse ângulo relaciona as componentes de seno e cosseno e pode ser encontrado usando a tangente:
Então:
Resposta
a) $ T \approx 3,14 , segundos $
b) $ A \approx 3,84 , metros $
c) $ \phi \approx 38,7^\circ $
b) $ A \approx 3,84 , metros $
c) $ \phi \approx 38,7^\circ $