Dois discos homogêneos de raio 200 mm, giram em torno do eixo A B, de massa desprezível. O eixo A B gira em torno do eixo vertical C D, também de massa desprezível. Considere que os discos tem massa total de 8 kg, omega 1=200 rad / s e omega 2=6 rad/s.
Calcule as reações em C e D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos aqui um exercício de dinâmica rotacional envolvendo dois discos homogêneos. O enunciado nos diz que cada disco tem um raio de 200 mm (ou 0,2 metros) e que a massa total dos discos é de 8 kg. Além disso, temos duas rotações: uma do eixo horizontal AB com velocidade angular omega1 = 200 , rad/s e outra rotação do eixo vertical CD com velocidade angular omega2 = 6 , rad/s. Nosso objetivo é calcular as reações nos pontos C e D. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e forças centrífugas na dinâmica rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine dois discos girando em torno de um eixo horizontal AB. Esse eixo AB está apoiado e, por sua vez, gira em torno de um eixo vertical CD. Como os eixos têm massa desprezível, só precisamos nos preocupar com os discos de 8 kg no total.

Passo 3

Para encontrar as reações em C e D, precisamos considerar as forças que atuam devido às rotações. Essas forças são principalmente as forças centrífugas, que aparecem quando temos movimento circular. A força centrífuga é dada por:
Fc = m cdot r cdot omega^2
onde:
  • m é a massa,
  • r é o raio,
  • omega é a velocidade angular.

Passo 4

Vamos calcular a força centrífuga causada pela rotação do eixo AB. Aqui, omega1 = 200 , rad/s e r = 0,2 , m.
Fc1 = m cdot r cdot omega1^2
Substituindo os valores:
Fc1 = 8 , kg cdot 0,2 , m cdot (200 , rad/s)^2
Fc1 = 8 times 0,2 times 40000
Fc1 = 8 times 0,2 times 40000 = 8 times 8000 = 64000 , N

Passo 5

Agora, consideramos a rotação do eixo AB em torno de CD com omega2 = 6 , rad/s. Aqui, o embasamento é o mesmo:
Fc2 = m cdot r cdot omega2^2
Substituindo os valores:
Fc2 = 8 , kg cdot 0,2 , m cdot (6 , rad/s)^2
Fc2 = 8 times 0,2 times 36
Fc2 = 8 times 0,2 times 36 = 8 times 7,2 = 57,6 , N

Passo 6

Agora, precisamos entender como essas forças afetam as reações nos pontos C e D. A força Fc1 está atuando de forma mais intensa devido à alta velocidade angular omega1, então a maior parte dessa força será suportada pelo ponto C. Já a força Fc2, sendo menor, será distribuída entre C e D conforme a estrutura.

Passo 7

Assumindo que as forças centrífugas atuam radialmente para fora de cada eixo, podemos distribuir as reações de forma proporcional. Como Fc1 é significativamente maior, a maior parte da reação estará em C. Supondo uma distribuição igualitária para simplificar, teríamos:
RC = Fc1 + Fc22
RD = Fc22
Calculando:
RC = 64000 , N + 57,6 , N2 = 64000 + 28,8 = 64028,8 , N
RD = 57,6 , N2 = 28,8 , N

Resposta

As reações nos pontos são:
  • Reação em C: aproximadamente 64.028,8 , N.
  • Reação em D: aproximadamente 28,8 , N.

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