Dois discos homogêneos de raio 200 mm, giram em torno do eixo
, de massa desprezível. O eixo
gira em torno do eixo vertical
, também de massa desprezível. Considere que os discos tem massa total de
e
rad/s.
Determine o momento angular em relação ao centro de massa do sistema.
Determine o momento angular em relação ao centro de massa do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois discos homogêneos, cada um com raio de 200 mm (que é 0,2 metros) e uma massa total de 8 kg. Esses discos estão girando de duas maneiras diferentes: primeiro, giram em torno de um eixo chamado
com uma velocidade angular de
. Além disso, o próprio eixo
está girando em torno de um eixo vertical chamado
com uma velocidade angular de
. O objetivo aqui é determinar o momento angular total do sistema em relação ao centro de massa.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de momento de inércia e momento angular, além de como esses momentos se combinam quando há múltiplas rotações envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia (
) de um disco homogêneo em relação ao seu eixo de rotação. A fórmula para o momento de inércia de um disco é:
Onde:
-
é a massa do disco -
é o raio do disco
Como temos dois discos com massa total de 8 kg, cada disco tem massa
.
Então, o momento de inércia de um disco é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento angular (
) devido à rotação dos discos em torno do eixo
. A fórmula para o momento angular é:
Já que temos dois discos, o momento angular total devido a essa rotação é:
Passo 4
Em seguida, precisamos considerar a rotação do eixo
em torno do eixo vertical
. Para isso, vamos calcular o momento de inércia do sistema em relação ao eixo vertical. Supondo que o centro de massa esteja alinhado com o eixo
, usamos a mesma fórmula do momento de inércia para cada disco com a distância do eixo.
Entretanto, como os discos estão girando ao redor do eixo
com velocidade angular
, o momento angular devido a essa rotação é:
Onde
é o momento de inércia em relação ao eixo
. Se os discos estão distribuídos radialmente, podemos considerar:
Então,
Passo 5
Finalmente, para encontrar o momento angular total do sistema em relação ao centro de massa, somamos os dois momentos angulares que calculamos:
Resposta
O momento angular total do sistema em relação ao centro de massa é de aproximadamente
.