Dois discos homogêneos de raio 200 mm, giram em torno do eixo A B, de massa desprezível. O eixo A B gira em torno do eixo vertical C D, também de massa desprezível. Considere que os discos tem massa total de 8 kg, omega 1=200 rad / s e omega 2=6 rad/s.
Determine o momento angular em relação ao centro de massa do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos dois discos homogêneos, cada um com raio de 200 mm (que é 0,2 metros) e uma massa total de 8 kg. Esses discos estão girando de duas maneiras diferentes: primeiro, giram em torno de um eixo chamado AB com uma velocidade angular de omega1 = 200 , rad/s. Além disso, o próprio eixo AB está girando em torno de um eixo vertical chamado CD com uma velocidade angular de omega2 = 6 , rad/s. O objetivo aqui é determinar o momento angular total do sistema em relação ao centro de massa.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de momento de inércia e momento angular, além de como esses momentos se combinam quando há múltiplas rotações envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia ( I) de um disco homogêneo em relação ao seu eixo de rotação. A fórmula para o momento de inércia de um disco é:
I = 12 m r^2
Onde:
  • m é a massa do disco
  • r é o raio do disco
Como temos dois discos com massa total de 8 kg, cada disco tem massa m = 4 , kg.
Então, o momento de inércia de um disco é:
I = 12 times 4 , kg times (0,2 , m)^2 = 12 times 4 times 0,04 = 0,08 , kg cdot m^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento angular ( L) devido à rotação dos discos em torno do eixo AB. A fórmula para o momento angular é:
L = I omega
Já que temos dois discos, o momento angular total devido a essa rotação é:
L1 = 2 times 0,08 , kg cdot m^2 times 200 , rad/s = 2 times 0,08 times 200 = 32 , kg cdot m^2/s

Passo 4

Em seguida, precisamos considerar a rotação do eixo AB em torno do eixo vertical CD. Para isso, vamos calcular o momento de inércia do sistema em relação ao eixo vertical. Supondo que o centro de massa esteja alinhado com o eixo CD, usamos a mesma fórmula do momento de inércia para cada disco com a distância do eixo.
Entretanto, como os discos estão girando ao redor do eixo CD com velocidade angular omega2 = 6 , rad/s, o momento angular devido a essa rotação é:
L2 = I' omega2
Onde I' é o momento de inércia em relação ao eixo CD. Se os discos estão distribuídos radialmente, podemos considerar:
I' = 2 times m r^2 = 2 times 4 , kg times (0,2 , m)^2 = 0,32 , kg cdot m^2
Então,
L2 = 0,32 , kg cdot m^2 times 6 , rad/s = 1,92 , kg cdot m^2/s

Passo 5

Finalmente, para encontrar o momento angular total do sistema em relação ao centro de massa, somamos os dois momentos angulares que calculamos:
Ltotal = L1 + L2 = 32 , kg cdot m^2/s + 1,92 , kg cdot m^2/s = 33,92 , kg cdot m^2/s

Resposta

O momento angular total do sistema em relação ao centro de massa é de aproximadamente 33,92 , kg cdot m^2/s.

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