Movimento planetário: escreva a equação da órbita para F(r)=-kr^2, k>0. Encontre a solução desta equação. Esta solução corresponde à equação para que tipos de trajetórias? Relacione os possíveis pontos de retorno com a constante presente na solução, A (o que são estes pontos?). Expresse a constante A em termos de E e ell, as duas constantes de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre movimento planetário, mais especificamente sobre como escrever a equação da órbita quando a força gravitacional é , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como as leis de Kepler, a lei da conservação do momento angular e a energia mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional que atua no planeta é central e inversamente proporcional ao quadrado da distância F(r) = -kr^2 . Isso significa que a força está sempre direcionada para o centro (o sol, por exemplo) e sua intensidade diminui conforme o planeta se afasta.
A equação da força é dada por:
Onde o sinal negativo indica que a força está puxando o planeta para dentro.

Passo 3

Para encontrar a equação da órbita, é mais conveniente trabalhar em coordenadas polares, onde a posição do planeta é descrita pela distância ell = r^2 dthetadt e pelo ângulo . Nesse sistema, a segunda lei de Newton para movimento central pode ser expressa usando a conservação do momento angular.
A conservação do momento angular nos diz que:
Onde é a constante de movimento angular.

Passo 4

Vamos agora relacionar a posição d^2udtheta^2 + u = kell^2 com o ângulo . Para isso, usamos a substituição . Dessa forma, a equação diferencial que descreve a órbita fica:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem, onde .

Passo 5

A solução geral dessa equação é:
u(theta) = kell^2 + A cos(theta - theta0)
Onde u(theta) = kell^2 + A cos theta e 1r = kell^2 + A cos theta são constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento.
Assumindo que r(theta) = 1kell^2 + A cos theta por simplicidade, temos:
O que nos dá:
Ou seja:

Passo 6

Essa equação é a equação da órbita para o movimento sob uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância. Reconhecemos que ela representa trajetórias conicas, que podem ser círculos, elipses, parábolas ou hipérboles, dependendo do valor da constante .

Passo 7

Os pontos de retorno são os pontos onde o planeta muda de direção radial, ou seja, nos extremos do movimento radial (pontos mais próximos e mais distantes do centro). Esses pontos estão relacionados ao valor da constante . Basicamente, determina a “abertura” da trajetória e, consequentemente, o tipo de trajetória seguida.

Passo 8

Agora, vamos expressar a constante A = 2Eell^2k^2 - 1 em termos da energia e do momento angular . A energia total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial, e está relacionada à constante na solução da órbita.
A relação é dada por:
Assim, expressamos em função de e .

Resposta

A solução da equação da órbita é:
r(theta) = 1kell^2 + A cos theta
Essa solução corresponde a trajetórias cônicas (círculos, elipses, parábolas ou hipérboles). Os pontos de retorno são os extremos da distância radial e estão diretamente relacionados à constante A = 2Eell^2k^2 - 1 . Além disso, a constante pode ser expressa em termos da energia e do momento angular pela relação:

Exercícios relacionados

Reescreva a equação da órbita usando o resultado de A em função de E e ell, obtido no item (8). Defina alpha e varepsilon (onde 2 alpha= latus rectum e varepsilon, é a excentricidade da órbita) e reescreva a eq. da órbita em termos destes parâmetros. Classifique as órbitas de acordo com diferentes valores da excentricidade: varepsilon>1 ; varepsilon=1 ; 0. A partir do gráfico de V(r) para um campo F(r)=-kr^2, k>0, e da dependência de varepsilon com a energia E, relacione as órbitas de acordo com os valores correspondentes de E .
O que é uma força central? Dê exemplos.
Considere o problema de dois corpos. Analise a situação quando um dos corpos possui massa (M) muito maior que a do outro, M>m. Mostre que: L é uma constante de movimento e a trajetória do corpo de massa m está localizada em um plano que contém o centro de força.
Considere a situação geral de 2 corpos de massas m1 e m2 cuja força de interação é uma força central. Escreva as equações de movimento para os 2 corpos. Introduza novas variáveis R, o vetor posição do centro de massa (CM), e r, o vetor coordenada relativa - o movimento passa a ser descrito em termos de R(t) e r(t). Encontre as equações de movimento em R e r. O que representam estas equações de movimento?