Considere a situação geral de 2 corpos de massas m1 e m2 cuja força de interação é uma força central. Escreva as equações de movimento para os 2 corpos. Introduza novas variáveis R, o vetor posição do centro de massa (CM), e r, o vetor coordenada relativa - o movimento passa a ser descrito em termos de R(t) e r(t). Encontre as equações de movimento em R e r. O que representam estas equações de movimento?

Passo 1

Então, temos um problema de dois corpos com massas m1 e m2 que interagem através de uma força central. Isso significa que a força entre eles depende apenas da distância entre eles e está direcionada ao longo da linha que os une. Vamos usar as leis de Newton para escrever as equações de movimento desses corpos. Além disso, vamos introduzir duas novas variáveis: R, que representa a posição do centro de massa, e r, que é a coordenada relativa entre os dois corpos. Nosso objetivo é reescrever as equações de movimento em termos de R(t) e r(t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força central significa que a força exercida por um corpo sobre o outro é igual e oposta, conforme a terceira lei de Newton. Vamos chamar a força que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 de F12 e a força que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1 de F21. Então, temos:
F12 = -F21

Passo 3

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para cada corpo. Para o corpo 1:
m1 ddotr1 = F21
E para o corpo 2:
m2 ddotr2 = F12
Onde ddotr1 e ddotr2 são as acelerações dos corpos 1 e 2, respectivamente.

Passo 4

Vamos definir o vetor posição do centro de massa R e a coordenada relativa r. O centro de massa é dado por:
R = m1r1 + m2r2m1 + m2
E a coordenada relativa é:
r = r2 - r1

Passo 5

Para encontrar as equações de movimento em termos de R e r, vamos derivar a segunda derivada de R em relação ao tempo:
ddotR = m1ddotr1 + m2ddotr2m1 + m2
Substituindo as equações de movimento dos corpos:
ddotR = F21 + F12m1 + m2 = F21 - F21m1 + m2 = 0
Isso nos mostra que a aceleração do centro de massa é zero.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação de movimento para a coordenada relativa r. Subtraindo as equações de movimento dos dois corpos:
m2 ddotr2 - m1 ddotr1 = F12 - F21
Como F12 = -F21:
m2 ddotr2 - m1 ddotr1 = 2F12
Mas sabemos que r = r2 - r1, então:
ddotr = ddotr2 - ddotr1
Substituindo na equação anterior:
m2 (ddotr + ddotr1) - m1 ddotr1 = 2F12
Simplificando:
m2 ddotr + (m2 - m1) ddotr1 = 2F12
Considerando que a aceleração do centro de massa é zero:
ddotR = 0 Rightarrow m1 ddotr1 + m2 ddotr2 = 0
Isso implica que:
ddotr1 = -m2m1 + m2 ddotr
Substituindo de volta:
m2 ddotr - m2 ddotr = 2F12
O que simplifica para:
ddotr = 2F12m1 + m2

Resposta

As equações de movimento no sistema de coordenadas do centro de massa e da coordenada relativa são:
ddotR = 0
ddotr = Fmu
onde mu = m1m2m1 + m2 é a massa reduzida. A primeira equação indica que o centro de massa se move com velocidade constante (ou está em repouso se a aceleração é zero), e a segunda equação descreve o movimento relativo dos dois corpos sob a força central, similar ao movimento de uma única partícula com massa reduzida.

Exercícios relacionados

Considere o problema de dois corpos. Analise a situação quando um dos corpos possui massa (M) muito maior que a do outro, M>m. Mostre que: L é uma constante de movimento e a trajetória do corpo de massa m está localizada em um plano que contém o centro de força.
Movimento planetário: escreva a equação da órbita para F(r)=-kr^2, k>0. Encontre a solução desta equação. Esta solução corresponde à equação para que tipos de trajetórias? Relacione os possíveis pontos de retorno com a constante presente na solução, A (o que são estes pontos?). Expresse a constante A em termos de E e ell, as duas constantes de movimento.
Para a equação de movimento para r, é conveniente a utilização de coordenadas plano-polares (Por quê?). Encontre as equações de movimento em r e theta. Obtenha theta(t) e r(t). Que constantes de movimento foram usadas para a obtenção de theta (t) e r (t) ?
Considere o caso de forças centrais inversamente proporcionais ao quadrado da distância, F(r)=kr^2. Por que este é um dos problemas mais importantes no movimento tridimensional? Escreva V(r ) e analise suas várias possibilidades para diferentes valores de k e ell, ( k>0, para ell=0 e ell neq 0 ; k<0, para ell=0 e ell neq 0). Faça os gráficos de V ® para todos estes casos. Analise a possibilidade de ocorrência de mínimos no potencial efetivo. Analise a natureza do movimento em cada um dos casos.