Reescreva a equação da órbita usando o resultado de A em função de E e ell, obtido no item (8). Defina alpha e varepsilon (onde 2 alpha= latus rectum e varepsilon, é a excentricidade da órbita) e reescreva a eq. da órbita em termos destes parâmetros. Classifique as órbitas de acordo com diferentes valores da excentricidade: varepsilon>1 ; varepsilon=1 ; 0. A partir do gráfico de V(r) para um campo F(r)=-kr^2, k>0, e da dependência de varepsilon com a energia E, relacione as órbitas de acordo com os valores correspondentes de E .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com a equação da órbita de um corpo sob a influência de uma força central. Precisamos reescrever essa equação usando a relação de em função de (energia) e (momento angular). Além disso, vamos definir dois parâmetros importantes: e , que representam, respectivamente, a metade do semieixo maior (relacionado ao latus rectum) e a excentricidade da órbita. Para resolver isso, vamos precisar das equações da mecânica orbital e entender como a força central afeta o movimento do corpo.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação da órbita. A equação geral da órbita em coordenadas polares é dada por:
1r = Aell^2 (1 + varepsilon cos theta )
Aqui, é a distância do corpo ao centro da força, é o ângulo polar, é uma constante relacionada à força, é a energia, e é o momento angular. Usando a relação que foi dada no item (8), substituímos na equação acima.

Passo 3

Agora, vamos definir os parâmetros r = alpha1 + varepsilon cos theta e :
  • : É a metade do semieixo maior da órbita, relacionado ao latus rectum. Podemos expressar latus rectum.
  • : É a excentricidade da órbita, que determina a forma da órbita. Valores diferentes de correspondem a diferentes tipos de órbitas.
Com essas definições, reescrevemos a equação da órbita em termos de e :

Passo 4

Agora, vamos classificar as órbitas de acordo com os valores de :
  • : A órbita é hiperbólica. O corpo tem energia suficiente para escapar do campo central, resultando em uma trajetória aberta.
  • : A órbita é parabólica. É o caso limítrofe entre trajetórias fechadas e abertas.
  • : A órbita é elíptica. O corpo fica preso em uma trajetória fechada ao redor do centro da força.
  • : A órbita é circular. A distância permanece constante, pois não há excentricidade.

Passo 5

Vamos analisar a relação entre a excentricidade e a energia usando o gráfico da função potencial para o campo , onde .
No gráfico , diferentes valores de energia determinam o tipo de órbita:
  • Para : A energia é positiva, indicando uma órbita hiperbólica ( ). O corpo tem energia suficiente para escapar.
  • Para : A energia é zero, correspondendo a uma órbita parabólica ( ).
  • Para : A energia está entre zero e o mínimo do potencial, resultando em órbitas elípticas ( ).
  • Para : A energia atinge o mínimo do potencial, levando a uma órbita circular ( ).

Resposta

Reescrevemos a equação da órbita como , onde é metade do semieixo maior e é a excentricidade. As órbitas são classificadas da seguinte forma:
  • Hiperbólica ( ) para
  • Parabólica ( ) para
  • Elíptica ( ) para
  • Circular ( ) para
Isso relaciona os tipos de órbitas aos valores de energia com base no gráfico de para o campo .

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