O movimento de um projétil submetido ao efeito de uma ventania é dado por:
onde
e
. O projétil é lançado com velocidade inicial
fazendo um ângulo
com o eixo x . Determine as componentes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um projétil que está sendo influenciado por uma ventania. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem se preocupar com as causas dele. Nosso objetivo aqui é encontrar as componentes da posição do projétil ao longo do tempo, ou seja, $ x(t) $ e $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação da aceleração que nos foi dada:
Aqui, $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade, e $ c = 2,3 , m/s^4 $ é uma constante que representa o efeito da ventania. As componentes $ \vec{i} $ e $ \vec{j} $ correspondem às direções do eixo $ x $ e $ y $, respectivamente. Então, podemos separar as componentes da aceleração nas direções $ x $ e $ y $:
- Aceleração na direção $ x $: $ a_x = -c t^{2} $
- Aceleração na direção $ y $: $ a_y = -g $
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a velocidade do projétil em cada direção. Para isso, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo, já que velocidade é a integral da aceleração.
Começando com a direção $ x $:
E na direção $ y $:
Aqui, $ C_x $ e $ C_y $ são constantes de integração que determinam a condição inicial da velocidade.
Passo 4
Como o projétil é lançado com uma velocidade inicial $ v_0 = 15 , m/s $ formando um ângulo $ \theta = 35^\circ $ com o eixo $ x $, podemos encontrar as componentes iniciais da velocidade:
Vamos calcular esses valores:
Essas são as velocidades iniciais nas direções $ x $ e $ y $, respectivamente. Então, as constantes de integração ficam:
Passo 5
Agora que temos as expressões para as velocidades com as constantes determinadas, vamos reescrevê-las:
Substituindo os valores de $ c $ e $ g $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as posições $ x(t) $ e $ y(t) $ integrando as velocidades em relação ao tempo.
Integrando $ v_x(t) $:
E integrando $ v_y(t) $:
Aqui, $ D_x $ e $ D_y $ são constantes de integração que determinam a condição inicial da posição.
Passo 7
Assumindo que o projétil é lançado do ponto de origem
no tempo $ t = 0 $, temos $ x(0) = 0 $ e $ y(0) = 0 $. Então:
Para $ x(t) $:
Para $ y(t) $:
Passo 8
Agora, substituindo as constantes de integração, as expressões das posições ficam:
Simplificando:
Resposta
As componentes da posição do projétil ao longo do tempo são: