O movimento de um projétil submetido ao efeito de uma ventania é dado por:
a=-g j-c t^2 i,
onde g=9,81 m / s^2 e c=2,3 m s^-4. O projétil é lançado com velocidade inicial v0=15 m / s fazendo um ângulo theta=35^circ com o eixo x . Determine as componentes x(t) e y(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de um projétil que está sendo influenciado por uma ventania. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento sem se preocupar com as causas dele. Nosso objetivo aqui é encontrar as componentes da posição do projétil ao longo do tempo, ou seja, $ x(t) $ e $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação da aceleração que nos foi dada:
a = -g j - c t^2 i
Aqui, $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade, e $ c = 2,3 , m/s^4 $ é uma constante que representa o efeito da ventania. As componentes $ \vec{i} $ e $ \vec{j} $ correspondem às direções do eixo $ x $ e $ y $, respectivamente. Então, podemos separar as componentes da aceleração nas direções $ x $ e $ y $:
  • Aceleração na direção $ x $: $ a_x = -c t^{2} $
  • Aceleração na direção $ y $: $ a_y = -g $

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade do projétil em cada direção. Para isso, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo, já que velocidade é a integral da aceleração.
Começando com a direção $ x $:
x
E na direção $ y $:
vx(t) = integral ax , dt = integral (-c t^2) , dt = -c3 t^3 + Cx
Aqui, $ C_x $ e $ C_y $ são constantes de integração que determinam a condição inicial da velocidade.

Passo 4

Como o projétil é lançado com uma velocidade inicial $ v_0 = 15 , m/s $ formando um ângulo $ \theta = 35^\circ $ com o eixo $ x $, podemos encontrar as componentes iniciais da velocidade:
v0 = 15 , m/s
theta = 35^circ
Vamos calcular esses valores:
x
v0x = v0 cos(theta) = 15 cos(35^circ)
Essas são as velocidades iniciais nas direções $ x $ e $ y $, respectivamente. Então, as constantes de integração ficam:
v0y = v0 sin(theta) = 15 sin(35^circ)
v0x approx 15 times 0,8192 approx 12,29 , m/s

Passo 5

Agora que temos as expressões para as velocidades com as constantes determinadas, vamos reescrevê-las:
vx(t) = -c3 t^3 + 12,29
vy(t) = -g t + 8,60
Substituindo os valores de $ c $ e $ g $:
c
g

Passo 6

Agora, vamos encontrar as posições $ x(t) $ e $ y(t) $ integrando as velocidades em relação ao tempo.
Integrando $ v_x(t) $:
x(t)
E integrando $ v_y(t) $:
y(t)
Aqui, $ D_x $ e $ D_y $ são constantes de integração que determinam a condição inicial da posição.

Passo 7

Assumindo que o projétil é lançado do ponto de origem (0,0) no tempo $ t = 0 $, temos $ x(0) = 0 $ e $ y(0) = 0 $. Então:
Para $ x(t) $:
t = 0
Para $ y(t) $:
x(0) = 0

Passo 8

Agora, substituindo as constantes de integração, as expressões das posições ficam:
x(t) = -0,767 t^44 + 12,29 t
y(t) = -9,812 t^2 + 8,60 t
Simplificando:
x(t) = -0,19175 t^4 + 12,29 t
y(t) = -4,905 t^2 + 8,60 t

Resposta

As componentes da posição do projétil ao longo do tempo são:
x(t) = -0,19175 , t^4 + 12,29 , t
y(t) = -4,905 , t^2 + 8,60 , t

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