Multiplique as séries de potências para mostrar que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa multiplicar as séries de potências de e para mostrar que o produto delas é igual a . Para isso, vamos precisar conhecer as expansões em série de potências dessas funções e saber como multiplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se expandem e em séries de potências.
A série de Taylor para é:
No nosso caso, , então:
Agora, a série de Taylor para é:

Passo 3

Vamos escrever as duas séries até o termo de para facilitar a multiplicação:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essas duas séries. Lembre-se que, para multiplicar séries de potências, a gente multiplica cada termo de uma série por cada termo da outra e depois soma os resultados. Vamos fazer isso até o termo de :

Passo 5

Vamos agora simplificar cada termo:
Como estamos interessados até , podemos ignorar os termos com potências superiores. Então, agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, vamos somar os coeficientes dos mesmos poderes de :
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, temos:

Resposta

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