(a) Mostre que sumn=1^infty x^nn! converge para todo x.

Passo 1

Aqui temos a série infinita sumn=1^infty x^nn!. Estamos trabalhando com o tema de convergência de séries dentro do estudo de séries na matemática. Para resolver esse exercício, vamos precisar utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou não.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Razão na série. Esse teste consiste em calcular o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Primeiro, identifiquemos o termo geral da nossa série:
an = x^nn!
Agora, calculamos a razão entre o termo an+1an = x^n+1(n+1)!x^nn! e :

Passo 4

Simplificando a expressão da razão:
an+1an = x^n+1 cdot n!x^n cdot (n+1)! = x cdot n!(n+1) cdot n! = xn+1
Agora, aplicamos o limite quando L = limn to infty | xn+1 | tende ao infinito:

Passo 5

Calculando o limite:
L = limn to infty |x|n+1 = 0
Como e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

Portanto, a série converge para todo valor de .

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