(a) Mostre que converge para todo .

Passo 1

Aqui temos a série infinita . Estamos trabalhando com o tema de convergência de séries dentro do estudo de séries na matemática. Para resolver esse exercício, vamos precisar utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou não.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Razão na série. Esse teste consiste em calcular o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Primeiro, identifiquemos o termo geral da nossa série:
Agora, calculamos a razão entre o termo e :

Passo 4

Simplificando a expressão da razão:
Agora, aplicamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Calculando o limite:
Como e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

Portanto, a série converge para todo valor de .

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