onde
Mostre o que acontece com essa equação quando é aplicada uma transformação de Galileu e uma transformação de Lorentz. Ou seja: considere essa equação no referencial S
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu trata de uma equação diferencial que descreve como uma função
muda no espaço e no tempo. O conteúdo principal aqui é da mecânica clássica e relatividade, especificamente transformações de Galileu e de Lorentz. Para resolver, vamos precisar entender como essas transformações afetam as derivadas na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação que temos:
E a definição do operador laplaciano:
Essa é a Equação de onda, que descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar uma transformação de Galileu. Essa transformação é usada na física clássica para mudar de um referencial inercial para outro que está se movendo com velocidade constante
em relação ao primeiro. As transformações de Galileu são:
Aqui, o tempo não muda (
), e as coordenadas espaciais mudam linearmente com a velocidade
.
Passo 4
Vamos calcular como as derivadas mudam sob a transformação de Galileu. Usando a regra da cadeia:
E assim para as segundas derivadas:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação de onda original, temos:
Note que agora aparecem termos cruzados de espaço e tempo (
) e um termo com
.
Passo 6
Isso mostra que, após a transformação de Galileu, a equação de onda original não mantém a mesma forma. Os novos termos indicam que a equação não é invariante sob transformações de Galileu.
Passo 7
Agora, vamos aplicar uma transformação de Lorentz, que é a base da relatividade especial. As transformações de Lorentz levam em conta que a velocidade da luz
é constante em todos os referenciais. As transformações são:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 8
Calculando as derivadas sob a transformação de Lorentz:
E para as segundas derivadas:
Passo 9
Substituindo essas derivadas na equação de onda original:
Passo 10
Simplificando, percebemos que os termos com
se cancelam graças à escolha do fator
, e a equação de onda mantém sua forma original:
Isso mostra que a equação é invariante sob transformações de Lorentz.
Resposta
Após aplicar as transformações, a equação de onda não é invariante sob transformações de Galileu, mas mantém sua forma original sob transformações de Lorentz. Ou seja, a equação é Lorentz invariante porém não é Galileana invariante.
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.
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