onde
Mostre o que acontece com essa equação quando é aplicada uma transformação de Galileu e uma transformação de Lorentz. Ou seja: considere essa equação no referencial S

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me deu trata de uma equação diferencial que descreve como uma função muda no espaço e no tempo. O conteúdo principal aqui é da mecânica clássica e relatividade, especificamente transformações de Galileu e de Lorentz. Para resolver, vamos precisar entender como essas transformações afetam as derivadas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação que temos:
E a definição do operador laplaciano:
Essa é a Equação de onda, que descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar uma transformação de Galileu. Essa transformação é usada na física clássica para mudar de um referencial inercial para outro que está se movendo com velocidade constante em relação ao primeiro. As transformações de Galileu são:
Aqui, o tempo não muda ( ), e as coordenadas espaciais mudam linearmente com a velocidade .

Passo 4

Vamos calcular como as derivadas mudam sob a transformação de Galileu. Usando a regra da cadeia:
E assim para as segundas derivadas:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação de onda original, temos:
Note que agora aparecem termos cruzados de espaço e tempo ( ) e um termo com .

Passo 6

Isso mostra que, após a transformação de Galileu, a equação de onda original não mantém a mesma forma. Os novos termos indicam que a equação não é invariante sob transformações de Galileu.

Passo 7

Agora, vamos aplicar uma transformação de Lorentz, que é a base da relatividade especial. As transformações de Lorentz levam em conta que a velocidade da luz é constante em todos os referenciais. As transformações são:
onde é o fator de Lorentz.

Passo 8

Calculando as derivadas sob a transformação de Lorentz:
E para as segundas derivadas:

Passo 9

Substituindo essas derivadas na equação de onda original:

Passo 10

Simplificando, percebemos que os termos com se cancelam graças à escolha do fator , e a equação de onda mantém sua forma original:
Isso mostra que a equação é invariante sob transformações de Lorentz.

Resposta

Após aplicar as transformações, a equação de onda não é invariante sob transformações de Galileu, mas mantém sua forma original sob transformações de Lorentz. Ou seja, a equação é Lorentz invariante porém não é Galileana invariante.

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