Seja um campo elétrico propagando-se no vácuo tal que
(a) Mostre que este campo satisfaz à Lei de Gauss em sua forma diferencial.
(a) Mostre que este campo satisfaz à Lei de Gauss em sua forma diferencial.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado nos dá um campo elétrico que está se propagando no vácuo:
. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse campo elétrico satisfaz à Lei de Gauss na sua forma diferencial. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a Lei de Gauss diferencial e como calcular o divergente de um campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela é expressa pela equação:
Aqui,
representa o divergente do campo elétrico
,
é a densidade de carga elétrica, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
No vácuo, não há cargas elétricas livres, ou seja,
. Portanto, a Lei de Gauss simplifica para:
Isso significa que, para que o campo elétrico satisfaz a Lei de Gauss no vácuo, o divergente de
deve ser igual a zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular o divergente do campo elétrico dado:
. Em coordenadas cartesianas, o divergente de
é calculado da seguinte forma:
Mas, no nosso caso, o campo elétrico só tem componente na direção
, então
e
. Assim, a expressão simplifica para:
Passo 5
Vamos então calcular
. Sabemos que:
Observamos que
depende apenas da coordenada
e do tempo
, e não de
. Portanto, ao derivar
em relação a
, temos:
Passo 6
Com isso, concluímos que:
Isso significa que o divergente do campo elétrico é zero.
Resposta
Portanto, o campo elétrico dado satisfaz à Lei de Gauss em sua forma diferencial, já que
no vácuo.