Seja um campo elétrico propagando-se no vácuo tal que
(a) Mostre que este campo satisfaz à Lei de Gauss em sua forma diferencial.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos dá um campo elétrico que está se propagando no vácuo: . Nosso objetivo aqui é mostrar que esse campo elétrico satisfaz à Lei de Gauss na sua forma diferencial. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a Lei de Gauss diferencial e como calcular o divergente de um campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela é expressa pela equação:
Aqui, representa o divergente do campo elétrico , é a densidade de carga elétrica, e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

No vácuo, não há cargas elétricas livres, ou seja, . Portanto, a Lei de Gauss simplifica para:
Isso significa que, para que o campo elétrico satisfaz a Lei de Gauss no vácuo, o divergente de deve ser igual a zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular o divergente do campo elétrico dado: . Em coordenadas cartesianas, o divergente de é calculado da seguinte forma:
Mas, no nosso caso, o campo elétrico só tem componente na direção , então e . Assim, a expressão simplifica para:

Passo 5

Vamos então calcular . Sabemos que:
Observamos que depende apenas da coordenada e do tempo , e não de . Portanto, ao derivar em relação a , temos:

Passo 6

Com isso, concluímos que:
Isso significa que o divergente do campo elétrico é zero.

Resposta

Portanto, o campo elétrico dado satisfaz à Lei de Gauss em sua forma diferencial, já que no vácuo.

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