Seja um campo elétrico propagando-se no vácuo tal que E=E0 Sen(K Z-omega t) widehatx
(a) Mostre que este campo satisfaz à Lei de Gauss em sua forma diferencial.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado nos dá um campo elétrico que está se propagando no vácuo: E = E0 Sen(K Z - omega t) widehatx. Nosso objetivo aqui é mostrar que esse campo elétrico satisfaz à Lei de Gauss na sua forma diferencial. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a Lei de Gauss diferencial e como calcular o divergente de um campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss na forma diferencial. Ela é expressa pela equação:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Aqui, nabla cdot E representa o divergente do campo elétrico E, rho é a densidade de carga elétrica, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

No vácuo, não há cargas elétricas livres, ou seja, rho = 0. Portanto, a Lei de Gauss simplifica para:
nabla cdot E = 0
Isso significa que, para que o campo elétrico satisfaz a Lei de Gauss no vácuo, o divergente de E deve ser igual a zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular o divergente do campo elétrico dado: E = E0 Sen(K Z - omega t) widehatx. Em coordenadas cartesianas, o divergente de E é calculado da seguinte forma:
nabla cdot E = partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z
Mas, no nosso caso, o campo elétrico só tem componente na direção x, então Ey = 0 e Ez = 0. Assim, a expressão simplifica para:
nabla cdot E = partial Expartial x

Passo 5

Vamos então calcular partial Expartial x. Sabemos que:
Ex = E0 Sen(K Z - omega t)
Observamos que Ex depende apenas da coordenada Z e do tempo t, e não de x. Portanto, ao derivar Ex em relação a x, temos:
partial Expartial x = 0

Passo 6

Com isso, concluímos que:
nabla cdot E = 0
Isso significa que o divergente do campo elétrico é zero.

Resposta

Portanto, o campo elétrico dado satisfaz à Lei de Gauss em sua forma diferencial, já que nabla cdot E = 0 no vácuo.

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