Seja um campo elétrico propagando-se no vácuo tal que
© Mostre que
obedece a equação de onda e com isso comprove que a velocidade de propagação da luz é igual a
.
© Mostre que
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um campo elétrico
que se propaga no vácuo, dado por
. O conteúdo que vamos usar aqui é a equação de onda para campos elétricos e magnéticos na física. Além disso, vamos precisar entender como a velocidade de propagação da luz está relacionada às constantes magnética
e elétrica
do vácuo. Nosso objetivo é mostrar que
satisfaz a equação de onda e, com isso, descobrir que a velocidade da luz é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda para um campo elétrico no vácuo. A equação de onda em três dimensões para
é:
Aqui,
é o operador laplaciano, que calcula a segunda derivada espacial, e
é a segunda derivada temporal do campo elétrico.
Passo 3
Vamos calcular
e
para a nossa expressão de
.
Começando com o laplaciano:
Calculando a segunda derivada espacial:
Portanto,
Agora, a segunda derivada temporal:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação de onda:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por
(considerando que não é zero):
Passo 5
Agora, isolamos a relação entre
,
e a velocidade de propagação
:
Sabemos que
. Vamos substituir:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
Assim, mostramos que a velocidade de propagação da luz é igual a
.