Seja um campo elétrico propagando-se no vácuo tal que E=E0 Sen(K Z-omega t) widehatx
© Mostre que E obedece a equação de onda e com isso comprove que a velocidade de propagação da luz é igual a (mu0 varepsilon0)^-12.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo elétrico que se propaga no vácuo, dado por . O conteúdo que vamos usar aqui é a equação de onda para campos elétricos e magnéticos na física. Além disso, vamos precisar entender como a velocidade de propagação da luz está relacionada às constantes magnética e elétrica do vácuo. Nosso objetivo é mostrar que satisfaz a equação de onda e, com isso, descobrir que a velocidade da luz é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda para um campo elétrico no vácuo. A equação de onda em três dimensões para nabla^2 E - mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2 = 0 é:
Aqui, é o operador laplaciano, que calcula a segunda derivada espacial, e é a segunda derivada temporal do campo elétrico.

Passo 3

Vamos calcular nabla^2 E = partial^2 Expartial z^2 x = partial^2partial z^2 [ E0 sin(K z - omega t) ] x e partial^2partial z^2 sin(K z - omega t) = -K^2 sin(K z - omega t) para a nossa expressão de nabla^2 E = -K^2 E0 sin(K z - omega t) x .
Começando com o laplaciano:
partial^2 Epartial t^2 = partial^2partial t^2 [ E0 sin(K z - omega t) ] x = -omega^2 E0 sin(K z - omega t) x
Calculando a segunda derivada espacial:
Portanto,
Agora, a segunda derivada temporal:

Passo 4

Agora, substituímos - K^2 E0 sin(K z - omega t) x - mu0 varepsilon0 (-omega^2 E0 sin(K z - omega t)) x = 0 e - K^2 E0 sin(K z - omega t) + mu0 varepsilon0 omega^2 E0 sin(K z - omega t) = 0 na equação de onda:
- K^2 + mu0 varepsilon0 omega^2 = 0
Simplificando:
Dividindo todos os termos por (considerando que não é zero):

Passo 5

Agora, isolamos a relação entre K^2 = mu0 varepsilon0 omega^2 , v^2 = omega^2K^2 = omega^2mu0 varepsilon0 omega^2 = 1mu0 varepsilon0 e a velocidade de propagação v = 1raizmu0 varepsilon0 = ( mu0 varepsilon0 )^-12 :
Sabemos que . Vamos substituir:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

Assim, mostramos que a velocidade de propagação da luz é igual a .

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