É necessário que passe uma corrente de 100 mA pela bobina de um relé para que ele atue. Para fazêlo funcionar com uma fonte de CC são necessários 24 V e para que ele funcione corretamente em CA - 60 Hz é necessário uma tensão VRMS=160V. Determine o valor do capacitor que deve ser ligado em série com o relé para que ele funcione numa rede CA de VRMS =120 V em 60 Hz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual valor de capacitor deve ser ligado em série com o relé para que ele funcione numa rede de corrente alternada (CA) com tensão eficaz (VRMS) de 120 V e frequência de 60 Hz. A matéria que estamos trabalhando aqui é Circuitos de Corrente Alternada e vamos precisar usar leis de Ohm para CA e a relação entre impedância e capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. O relé precisa de uma corrente de 100 mA (0,1 A) para atuar. Quando ligado a uma fonte de corrente contínua (CC) de 24 V, ele funciona perfeitamente. Isso nos dá uma ideia da resistência do relé.

Passo 3

Vamos calcular a resistência do relé usando a Lei de Ohm, que diz que R = VI . Rearranjando para encontrar R = 24,V0,1,A = 240,Omega :
Substituindo os valores:
Então, a resistência do relé é de 240 ohms.

Passo 4

Agora, queremos que o relé funcione numa rede de CA com VRMS de 120 V. Para isso, precisamos garantir que a corrente que passa pelo relé seja de 100 mA. Como estamos lidando com CA, a resistência não é o único elemento que afeta a corrente; precisamos considerar também a impedância do circuito.

Passo 5

Vamos calcular a impedância total I = VZ necessária para que, com uma tensão de 120 V, a corrente seja de 0,1 A usando a fórmula da Lei de Ohm para CA:
Z = VI = 120,V0,1,A = 1200,Omega
Rearranjando para :
Então, a impedância total do circuito precisa ser de 1200 ohms.

Passo 6

Sabemos que a impedância total Z = raizR^2 + (12pi f C)^2 em um circuito com resistor ( ) e capacitor ( ) em série é dada por:
Onde:
  • (resistência do relé)
  • (frequência da rede)
  • é o capacitor que queremos encontrar

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos na equação da impedância:
1200 = raiz240^2 + (12pi times 60 times C)^2
Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para simplificar:
1200^2 = 240^2 + (12pi times 60 times C)^2
1440000 = 57600 + (1377C)^2

Passo 8

Agora, isolamos o termo que contém o capacitor:
1440000 - 57600 = (1377C)^2
1382400 = (1377C)^2

Passo 9

Tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para raiz1382400 = 1377C :
1176 = 1377C

Passo 10

Agora, resolvemos para 377C = 11176 :
C = 11176 times 377
C approx 1443,352 approx 2,257 times 10^-3,F

Resposta

O capacitor necessário para que o relé funcione numa rede CA de 120 V RMS e 60 Hz é aproximadamente ou 2,26 mF.

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