Newton usou as seguintes definições para a distância objeto e para a distância imagem:
e
. Ache a equação do espelho esférico sob a aproximação paraxial (equação de Gauss) e a ampliação em termos destas variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem as definições do Newton para a distância objeto (
) e para a distância imagem (
). O objetivo aqui é encontrar a equação do espelho esférico usando a aproximação paraxial, que é uma simplificação usada quando os raios de luz fazem pequenos ângulos com o eixo principal do espelho. Além disso, vamos calcular a ampliação em termos dessas variáveis. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espelhos esféricos e como aplicar a aproximação paraxial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação do espelho esférico que a gente usa na óptica geométrica. A equação de Gauss para espelhos é dada por:
Onde:
- $ f $ é a distância focal do espelho,
- $ s_O $ é a distância do objeto até o vértice do espelho,
- $ s_I $ é a distância da imagem até o vértice do espelho.
Essa equação relaciona as posições do objeto e da imagem com a característica do espelho (sua distância focal).
Passo 3
Agora, vamos usar as definições do Newton que foram dadas:
Queremos expressar a equação de Gauss em termos de $ d_O $ e $ d_I $. Para isso, vamos isolar $ s_O $ e $ s_I $ nas definições acima:
Passo 4
Substituindo $ s_O $ e $ s_I $ na equação de Gauss:
Vamos agora simplificar essa equação para achar uma relação mais direta entre $ d_O $ e $ d_I $.
Passo 5
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum para as duas frações:
Simplificando o numerador:
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ f(d_{O} + f)(d_{I} + f) $ para eliminar os denominadores:
Passo 6
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Igualando com o lado esquerdo:
Vamos rearranjar os termos para isolar $ d_O $ e $ d_I $:
Fatorando:
Passo 7
Assumindo que a distância focal $ f $ é muito maior que $ d_O $ e $ d_I $ (aproximação paraxial), podemos desprezar os termos de segunda ordem, ou seja, $ d_{O}d_{I} $ e $ f^2 $. Então, a equação simplifica para:
Fatorando $ d_O + d_I $:
Mas como $ f $ é uma constante referente ao espelho, ajustamos nossa aproximação para obter a relação linear:
Isso nos dá a equação do espelho esférico na aproximação paraxial usando as definições do Newton.
Passo 8
Agora, vamos calcular a ampliação $ m $, que é a relação entre a altura da imagem $ h_I $ e a altura do objeto $ h_O $:
Usando as definições do Newton:
Novamente, aplicando a aproximação paraxial onde $ f $ é muito maior que $ d_O $ e $ d_I $, podemos simplificar:
Resposta
A equação do espelho esférico na aproximação paraxial é:
E a ampliação é: