Newton usou as seguintes definições para a distância objeto e para a distância imagem: dO= sO-f e dI=sI-f. Ache a equação do espelho esférico sob a aproximação paraxial (equação de Gauss) e a ampliação em termos destas variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem as definições do Newton para a distância objeto ( dO = sO - f) e para a distância imagem ( dI = sI - f). O objetivo aqui é encontrar a equação do espelho esférico usando a aproximação paraxial, que é uma simplificação usada quando os raios de luz fazem pequenos ângulos com o eixo principal do espelho. Além disso, vamos calcular a ampliação em termos dessas variáveis. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espelhos esféricos e como aplicar a aproximação paraxial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação do espelho esférico que a gente usa na óptica geométrica. A equação de Gauss para espelhos é dada por:
1f = 1sO + 1sI
Onde:
  • $ f $ é a distância focal do espelho,
  • $ s_O $ é a distância do objeto até o vértice do espelho,
  • $ s_I $ é a distância da imagem até o vértice do espelho.
Essa equação relaciona as posições do objeto e da imagem com a característica do espelho (sua distância focal).

Passo 3

Agora, vamos usar as definições do Newton que foram dadas:
dO = sO - f e dI = sI - f
Queremos expressar a equação de Gauss em termos de $ d_O $ e $ d_I $. Para isso, vamos isolar $ s_O $ e $ s_I $ nas definições acima:
dO

Passo 4

Substituindo $ s_O $ e $ s_I $ na equação de Gauss:
sO
Vamos agora simplificar essa equação para achar uma relação mais direta entre $ d_O $ e $ d_I $.

Passo 5

Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum para as duas frações:
1f = dI + f + dO + f(dO + f)(dI + f)
Simplificando o numerador:
1f = dO + dI + 2f(dO + f)(dI + f)
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ f(d_{O} + f)(d_{I} + f) $ para eliminar os denominadores:
f(dO + f)(dI + f)

Passo 6

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
dOdI + dOf + dIf + f^2
Igualando com o lado esquerdo:
dO + dI + 2f = dOdI + dOf + dIf + f^2
Vamos rearranjar os termos para isolar $ d_O $ e $ d_I $:
dO
Fatorando:
dI

Passo 7

Assumindo que a distância focal $ f $ é muito maior que $ d_O $ e $ d_I $ (aproximação paraxial), podemos desprezar os termos de segunda ordem, ou seja, $ d_{O}d_{I} $ e $ f^2 $. Então, a equação simplifica para:
f
Fatorando $ d_O + d_I $:
dO
Mas como $ f $ é uma constante referente ao espelho, ajustamos nossa aproximação para obter a relação linear:
dI
Isso nos dá a equação do espelho esférico na aproximação paraxial usando as definições do Newton.

Passo 8

Agora, vamos calcular a ampliação $ m $, que é a relação entre a altura da imagem $ h_I $ e a altura do objeto $ h_O $:
m
Usando as definições do Newton:
hI
Novamente, aplicando a aproximação paraxial onde $ f $ é muito maior que $ d_O $ e $ d_I $, podemos simplificar:
hO

Resposta

A equação do espelho esférico na aproximação paraxial é:
1f = 1dO + 1dI
E a ampliação é:
m approx -dIdO

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