O nível de colesterol no sangue é uma variável com distribuição normal, de média mu desconhecida e desvio padrão sigma=60 mg / 100 ml.
(a) Teste a hipótese de que mu=260, contra a alternativa de que mu>260 com base numa amostra de 50 pacientes, em que se observou uma média amostral barx=268. Utilize um nível de 5 %.
(b) Qual deve ser o tamanho da amostra, escolhida na população acima, para que o intervalo de confiança para mu tenha um comprimento de 30 unidades? Use gamma=99 %.
© Para o teste especificado em (a), calcule a probabilidade beta para o erro do tipo II, se o valor real de mu for igual a 290.
R a) Aceita H0, b) n simeq 107 , c) beta=0,0294

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística que envolve distribuição normal. A gente vai precisar usar conceitos de teste de hipótese e intervalo de confiança para analisar o nível de colesterol no sangue. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Teste de Hipótese
Primeiro, vamos testar a hipótese de que a média do colesterol, mu, é 260 mg/100ml contra a alternativa de que mu > 260 mg/100ml. Isso é um teste unilateral.
Hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): mu = 260
  • Hipótese Alternativa ( H1): mu > 260
Nível de Significância: alpha = 5% ou 0,05.
Dados da Amostra:
  • Tamanho da amostra ( n): 50
  • Média amostral ( barx): 268
  • Desvio padrão ( sigma): 60 mg/100ml

Passo 3

Cálculo do Estatístico de Teste:
Como a distribuição é normal e o desvio padrão é conhecido, usamos o teste z. A fórmula do z é:
z = barx - mu0sigma / raizn = 268 - 26060 / raiz50 = 860 / 7,071 approx 88,485 approx 0,944

Passo 4

Determinação do Valor Crítico:
Para um teste unilateral à direita com alpha = 5%, o valor crítico de z é aproximadamente 1,645.

Passo 5

Decisão:
Comparando o z calculado (0,944) com o valor crítico (1,645):
  • Como 0,944 < 1,645, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 6

Parte (b): Tamanho da Amostra para o Intervalo de Confiança
Queremos determinar o tamanho da amostra ( n) necessário para que o intervalo de confiança para mu tenha um comprimento de 30 unidades com nível de confiança de 99%.
Fórmula do Intervalo de Confiança:
O comprimento do intervalo de confiança é dado por:
2 times zgamma/2 times sigmaraizn = 30
Onde gamma = 99%, então zgamma/2 approx 2,576.

Passo 7

Resolvendo para n:
2 times 2,576 times 60raizn = 30 5,152 times 60raizn = 30 5,152 times 6030 = raizn raizn = 309,1230 = 10,304 n = (10,304)^2 approx 106,2
Arredondando, n approx 107.

Passo 8

Parte ©: Probabilidade do Erro Tipo II ( beta)
Queremos calcular beta, a probabilidade de não rejeitarmos H0 quando o verdadeiro valor de mu é 290 mg/100ml.
Passos:
  1. Encontrar o valor crítico xc que corresponde ao limite para rejeitar H0:
xc = mu0 + zalpha times sigmaraizn = 260 + 1,645 times 60raiz50 approx 260 + 1,645 times 8,485 approx 260 + 13,96 approx 273,96
  1. Calcular o z para mu = 290:
z = xc - musigma / raizn = 273,96 - 29060 / raiz50 approx -16,048,485 approx -1,89
  1. Encontrar a probabilidade correspondente a z = -1,89:
Consultando a tabela z, P(Z < -1,89) approx 0,0294.
Então, beta approx 0,0294.

Resposta

a) Aceita H0, b) n simeq 107, c) beta = 0,0294

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