O nível de colesterol no sangue é uma variável com distribuição normal, de média
desconhecida e desvio padrão
.
(a) Teste a hipótese de que
, contra a alternativa de que
com base numa amostra de 50 pacientes, em que se observou uma média amostral
. Utilize um nível de
.
(b) Qual deve ser o tamanho da amostra, escolhida na população acima, para que o intervalo de confiança para
tenha um comprimento de 30 unidades? Use
.
© Para o teste especificado em (a), calcule a probabilidade
para o erro do tipo II, se o valor real de
for igual a 290.
(a) Teste a hipótese de que
(b) Qual deve ser o tamanho da amostra, escolhida na população acima, para que o intervalo de confiança para
© Para o teste especificado em (a), calcule a probabilidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística que envolve distribuição normal. A gente vai precisar usar conceitos de teste de hipótese e intervalo de confiança para analisar o nível de colesterol no sangue. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Teste de Hipótese
Primeiro, vamos testar a hipótese de que a média do colesterol,
, é 260 mg/100ml contra a alternativa de que
mg/100ml. Isso é um teste unilateral.
Hipóteses:
- Hipótese Nula (
): - Hipótese Alternativa (
):
Nível de Significância:
ou 0,05.
Dados da Amostra:
- Tamanho da amostra (
): 50 - Média amostral (
): 268 - Desvio padrão (
): 60 mg/100ml
Passo 3
Cálculo do Estatístico de Teste:
Como a distribuição é normal e o desvio padrão é conhecido, usamos o teste
. A fórmula do
é:
Passo 4
Determinação do Valor Crítico:
Para um teste unilateral à direita com
, o valor crítico de
é aproximadamente 1,645.
Passo 5
Decisão:
Comparando o
calculado (0,944) com o valor crítico (1,645):
- Como 0,944 < 1,645, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 6
Parte (b): Tamanho da Amostra para o Intervalo de Confiança
Queremos determinar o tamanho da amostra (
) necessário para que o intervalo de confiança para
tenha um comprimento de 30 unidades com nível de confiança de 99%.
Fórmula do Intervalo de Confiança:
O comprimento do intervalo de confiança é dado por:
Onde
, então
.
Passo 7
Resolvendo para
:
Arredondando,
.
Passo 8
Parte ©: Probabilidade do Erro Tipo II (
)
Queremos calcular
, a probabilidade de não rejeitarmos
quando o verdadeiro valor de
é 290 mg/100ml.
Passos:
- Encontrar o valor crítico
que corresponde ao limite para rejeitar :
- Calcular o
para :
- Encontrar a probabilidade correspondente a
:
Consultando a tabela z,
.
Então,
.
Resposta
a) Aceita
, b)
, c)