Quantos depósitos mensais antecipados de R$
serão necessários para constituir o montante de R$ 14.761,05, à taxa de
ao ano, capitalizados mensalmente?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos depósitos mensais de R$ 1.560,00 feitos no começo de cada mês (por isso é antecipado). Queremos saber quantos desses depósitos são necessários para alcançar um montante total de R$ 14.761,05. A taxa de juros é de 12% ao ano, mas como os juros são capitalizados mensalmente, precisamos trabalhar com a taxa de juros mensal. Vamos usar conceitos de Juros Compostos e Anuidades Antecipadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Depósito mensal §: R$ 1.560,00
- Montante desejado (FV): R$ 14.761,05
- Taxa de juros anual: 12%
- Capitalização: Mensal
Como os juros são anuais, precisamos converter a taxa para mensal.
Passo 3
Para encontrar a taxa de juros mensal (i), dividimos a taxa anual por 12 meses:
Passo 4
Como os depósitos são feitos no início de cada período, estamos lidando com uma Anuidade Antecipada. A fórmula para o valor futuro (FV) de uma anuidade antecipada é:
Onde:
- $ FV $ é o montante futuro
- $ P $ é o depósito periódico
- $ i $ é a taxa de juros por período
- $ n $ é o número de períodos
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula e resolver para $ n $:
Primeiro, simplificamos a equação:
Dividindo ambos os lados por $ 1.560 \times 1,01 $:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Multiplicando ambos os lados por 0,01:
Adicionando 1 aos dois lados:
Passo 6
Agora, para resolver para $ n $, usamos o logaritmo:
Isolando $ n $:
Calculando os logaritmos:
Como não podemos ter uma fração de mês, arredondamos para 10 meses.
Resposta
Serão necessários 10 depósitos mensais antecipados de R$ 1.560,00 para constituir o montante de R$ 14.761,05 à taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente.