Quantos depósitos mensais antecipados de R$ serão necessários para constituir o montante de R$ 14.761,05, à taxa de serão necessários para constituir o montante de R ao ano, capitalizados mensalmente?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos depósitos mensais de R$ 1.560,00 feitos no começo de cada mês (por isso é antecipado). Queremos saber quantos desses depósitos são necessários para alcançar um montante total de R$ 14.761,05. A taxa de juros é de 12% ao ano, mas como os juros são capitalizados mensalmente, precisamos trabalhar com a taxa de juros mensal. Vamos usar conceitos de Juros Compostos e Anuidades Antecipadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Depósito mensal §: R$ 1.560,00
  • Montante desejado (FV): R$ 14.761,05
  • Taxa de juros anual: 12%
  • Capitalização: Mensal
Como os juros são anuais, precisamos converter a taxa para mensal.

Passo 3

Para encontrar a taxa de juros mensal (i), dividimos a taxa anual por 12 meses:
i = 12%12 = 1% ao mês ou i = 0,01 ê

Passo 4

Como os depósitos são feitos no início de cada período, estamos lidando com uma Anuidade Antecipada. A fórmula para o valor futuro (FV) de uma anuidade antecipada é:
FV = P times ( (1 + i)^n - 1i ) times (1 + i)
Onde:
  • $ FV $ é o montante futuro
  • $ P $ é o depósito periódico
  • $ i $ é a taxa de juros por período
  • $ n $ é o número de períodos

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula e resolver para $ n $:
n
Primeiro, simplificamos a equação:
14.761,05 = 1.560 times ( (1 + 0,01)^n - 10,01 ) times 1,01
Dividindo ambos os lados por $ 1.560 \times 1,01 $:
14.761,05 = 1.560 times ( (1,01)^n - 10,01 ) times 1,01
Calculando o lado esquerdo:
1.560 times 1,01
Então:
14.761,051.560 times 1,01 = (1,01)^n - 10,01
Multiplicando ambos os lados por 0,01:
14.761,051.575,60 approx 9,371
Adicionando 1 aos dois lados:
9,371 = (1,01)^n - 10,01

Passo 6

Agora, para resolver para $ n $, usamos o logaritmo:
n
Isolando $ n $:
ln(1,09371) = n times ln(1,01)
Calculando os logaritmos:
n
Como não podemos ter uma fração de mês, arredondamos para 10 meses.

Resposta

Serão necessários 10 depósitos mensais antecipados de R$ 1.560,00 para constituir o montante de R$ 14.761,05 à taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente.

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