Suponha que 10 % dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Suponha que 5 pessoas são selecionadas de forma independente e ao acaso. Seja X o número de moradores que não tem alergia dentre o grupo de moradores selecionados.
(a) Determine a função probabilidade, a média e a variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que 10% dos moradores perto de uma siderúrgica têm alergia aos poluentes. Selecionamos 5 pessoas de forma aleatória e independente. Queremos saber sobre a variável $ X $, que representa o número de pessoas que não têm alergia nesse grupo de 5.
Vamos precisar usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso). Aqui, “sucesso” pode ser considerar uma pessoa que não tem alergia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
  • Número de tentativas ($ n $): 5 pessoas selecionadas.
  • Probabilidade de sucesso ($ p $): Como 10% têm alergia, 90% não têm. Então, $ p = 0,90 $.

Passo 3

A função de probabilidade da Distribuição Binomial é dada por:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, calculado como $ \frac{n!}{k!(n - k)!} $.
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos encontrar a probabilidade.

Passo 4

Vamos calcular a função de probabilidade para todos os possíveis valores de $ X $ (de 0 a 5):
X

Passo 5

Agora, vamos calcular a média ($ \mu $) da distribuição binomial, que é dada por:
mu
Substituindo os valores:
mu = n times p
Isso significa que, em média, esperamos que 4,5 pessoas em um grupo de 5 não tenham alergia.

Passo 6

Por fim, vamos calcular a variância ($ \sigma^2 $) da distribuição binomial, que é dada por:
sigma^2
Substituindo os valores:
sigma^2 = n times p times (1 - p)
A variância nos dá uma ideia de quão espalhados os valores de $ X $ estão em torno da média.

Resposta

A função probabilidade de $ X $ é:
X
A média de $ X $ é 4,5 e a variância de $ X $ é 0,45.

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