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PROVA 3 - 2020-2
OBSERVAÇÃO: Respostas sem justificativas não serão aceitas.

QUESTÕES:

  1. (1,5 ptos) Se
F(x)=integral1^x f(t) d t e f(x)=integralx^2^1 raiz1+u^3u d u
determine F^prime prime(2).
Dica: Não tente resolver as integrais, lebre-se que se
k(x)=integrala^x h(t) d t então k^prime(x)=dd x(integrala^x h(t) d t)=h(x) ã

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a segunda derivada de quando . Estamos lidando com cálculo de derivadas e integrais, especificamente com a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Para resolver isso, vamos precisar calcular e depois .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de F(x) = integral1^x f(t) , dt . Sabemos que:
F'(x) = f(x)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de em relação a é simplesmente a função integranda avaliada em . Ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada F''(x) = f'(x) , que é a derivada de f(x) = integralx^2^1 raiz1 + u^3u , du . Como f'(x) = ddx ( integralx^2^1 raiz1 + u^3u , du ) = raiz1 + (1)^31 cdot 0 - raiz1 + (x^2)^3x^2 cdot 2x , temos:
f'(x) = -2x cdot raiz1 + x^6x^2 = -2 cdot raiz1 + x^6x
Então, vamos calcular . A função é dada por:
Para derivar isso, usamos a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos f'(2) = -2 cdot raiz1 + 2^62 = -2 cdot raiz1 + 642 = -2 cdot raiz652 = -raiz65 na expressão de :

Resposta

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