1. (1,0 pto) Sem calcular a integral verifique se
integral0^2 x^2-2 x-3 d x
é positiva, negativa ou zero. Justifique como chegou a conclusão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a integral de de 0 a 2 e dizer se o resultado é positivo, negativo ou zero sem realmente calcular a integral. Isso envolve entender sobre integrais definidas e como o sinal da função influencia o resultado da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Para saber se a integral será positiva ou negativa, precisamos descobrir onde essa função está acima ou abaixo do eixo x no intervalo de 0 a 2.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de x^2 - 2x - 3 = 0 onde x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42 :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Agora, observamos que no intervalo de 0 a 2, a única raiz relevante é , que está fora do nosso intervalo de interesse. Isso significa que dentro de [0, 2], a função não cruza o eixo x e mantém o mesmo sinal.

Passo 5

Vamos testar o sinal da função em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, f(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 :
Como é negativo e a função não cruza o eixo x em [0, 2], concluímos que é negativa em todo o intervalo.

Resposta

A integral é negativa.

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