A nota média em matemática no vestibular, dos alunos que fazem cursinho é 5,9 . Desconfiando-se de um baixo rendimento nos últimos anos em matemática, dos pré-vestibulandos, resolveu-se retirar uma amostra de 35 alunos que fizeram vestibular, computando-se uma média de 4,5 e um desvio padrão 1,3 na disciplina aludida. Ao nível de
de significância você aceitaria a hipótese de que os alunos são de fato inferiores com o aprendizado da matéria em questão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a média das notas de matemática no vestibular para alunos que fazem cursinho é 5,9. Mas, uma amostra de 35 alunos mostrou uma média de 4,5 com desvio padrão de 1,3. Queremos saber, com 10% de significância, se essa média menor indica que os alunos estão realmente com desempenho inferior em matemática. Vamos usar o teste de hipóteses para resolver isso, especificamente o teste t de uma amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar:
-
Hipótese Nula (H₀): A média das notas dos alunos é 5,9. Ou seja, não houve mudança no desempenho.
-
Hipótese Alternativa (H₁): A média das notas dos alunos é menor que 5,9. Ou seja, houve uma queda no desempenho.
Passo 3
Agora, precisamos escolher o teste estatístico adequado. Como temos uma amostra pequena (n = 35) e não sabemos a variância da população, vamos usar o teste t de Student para uma amostra. A fórmula para o teste t é:
Onde:
-
é a média da amostra. -
é a média da população segundo a hipótese nula. -
é o desvio padrão da amostra. -
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste t com os dados fornecidos:
Substituindo na fórmula:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, o numerador:
Então:
Passo 5
Precisamos encontrar o valor crítico para o teste t com nível de significância de 10% (0,10) e graus de liberdade
. Como estamos testando se a média é menor, será um teste unilateral à esquerda.
Consultando uma tabela de distribuição t ou usando uma ferramenta, encontramos que o valor crítico para
e
é aproximadamente -1,31.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
Como
, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de significância de 10%, rejeitamos a hipótese de que a média das notas dos alunos é 5,9. Isso indica que, de fato, os alunos apresentam um desempenho inferior em matemática.