A nota média em matemática no vestibular, dos alunos que fazem cursinho é 5,9 . Desconfiando-se de um baixo rendimento nos últimos anos em matemática, dos pré-vestibulandos, resolveu-se retirar uma amostra de 35 alunos que fizeram vestibular, computando-se uma média de 4,5 e um desvio padrão 1,3 na disciplina aludida. Ao nível de 10 % de significância você aceitaria a hipótese de que os alunos são de fato inferiores com o aprendizado da matéria em questão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a média das notas de matemática no vestibular para alunos que fazem cursinho é 5,9. Mas, uma amostra de 35 alunos mostrou uma média de 4,5 com desvio padrão de 1,3. Queremos saber, com 10% de significância, se essa média menor indica que os alunos estão realmente com desempenho inferior em matemática. Vamos usar o teste de hipóteses para resolver isso, especificamente o teste t de uma amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): A média das notas dos alunos é 5,9. Ou seja, não houve mudança no desempenho.
    H₀: mu = 5,9
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média das notas dos alunos é menor que 5,9. Ou seja, houve uma queda no desempenho.
    H₁: mu < 5,9

Passo 3

Agora, precisamos escolher o teste estatístico adequado. Como temos uma amostra pequena (n = 35) e não sabemos a variância da população, vamos usar o teste t de Student para uma amostra. A fórmula para o teste t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • é a média da amostra.
  • é a média da população segundo a hipótese nula.
  • é o desvio padrão da amostra.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste t com os dados fornecidos:
  • t = 4,5 - 5,91,3raiz35
  • 1,3raiz35 approx 1,35,916 approx 0,22
  • 4,5 - 5,9 = -1,4
  • t = -1,40,22 approx -6,36
Substituindo na fórmula:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, o numerador:
Então:

Passo 5

Precisamos encontrar o valor crítico para o teste t com nível de significância de 10% (0,10) e graus de liberdade . Como estamos testando se a média é menor, será um teste unilateral à esquerda.
Consultando uma tabela de distribuição t ou usando uma ferramenta, encontramos que o valor crítico para e é aproximadamente -1,31.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
  • í
Como , rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 10%, rejeitamos a hipótese de que a média das notas dos alunos é 5,9. Isso indica que, de fato, os alunos apresentam um desempenho inferior em matemática.

Exercícios relacionados