Um empresário está estudando os custos de produção de um determinado produto sob determinadas condições. Ele admite que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão sigma=2 u m.
a) Determine um IC de 90 % para o custo médio verdadeiro do produto utilizando os valores da seguinte amostra aleatória obtida:
4,8-7,1-8,1-4,5-5,6-6,8-7,2-5,7 u.m.
b) Suponha que no item (a) o desvio padrão não fosse conhecido. Como ficaria seus cálculos para determinar um IC para mu ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um empresário que quer entender os custos de produção de um produto. Ele sabe que esses custos seguem uma distribuição normal e o desvio padrão ( sigma) é 2 unidades monetárias (u.m). Temos uma amostra de 8 valores de custo: 4,8; 7,1; 8,1; 4,5; 5,6; 6,8; 7,2; e 5,7 u.m. Vamos precisar calcular a média da amostra e usar a distribuição normal para achar o intervalo de confiança (IC) de 90% para o custo médio verdadeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de dados.
barx = 4,8 + 7,1 + 8,1 + 4,5 + 5,6 + 6,8 + 7,2 + 5,78
barx = 53,08 = 6,625 um

Passo 3

Agora, para um intervalo de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico z que corresponde a esse nível de confiança. Como a distribuição é normal, usamos a tabela z. Para 90%, o z correspondente é aproximadamente 1,645.

Passo 4

Vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão é conhecido:
IC = barx pm z ( sigmaraizn )
Onde:
  • barx é a média da amostra,
  • z é o valor crítico,
  • sigma é o desvio padrão,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Substituindo os valores:
IC = 6,625 pm 1,645 ( 2raiz8 )
Primeiro, calculamos 2raiz8:
2raiz8 = 22,828 approx 0,707
Então:
IC = 6,625 pm 1,645 times 0,707 approx 6,625 pm 1,164

Passo 6

Calculando os limites do intervalo:
6,625 - 1,164 = 5,461 um
6,625 + 1,164 = 7,789 um

Passo 7

Agora, no item (b), o desvio padrão ( sigma) não é conhecido. Quando não sabemos sigma, usamos o desvio padrão da amostra ( s) e a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.

Passo 8

Primeiro, vamos calcular o desvio padrão da amostra.
s = raiz 1n-1 sumi=1^n (xi - barx)^2
Calculando cada (xi - barx)^2:
(4,8 - 6,625)^2 = 3,527
(7,1 - 6,625)^2 = 0,225
(8,1 - 6,625)^2 = 2,025
(4,5 - 6,625)^2 = 4,536
(5,6 - 6,625)^2 = 1,065
(6,8 - 6,625)^2 = 0,030
(7,2 - 6,625)^2 = 0,330
(5,7 - 6,625)^2 = 0,857
Somando esses valores:
sum = 3,527 + 0,225 + 2,025 + 4,536 + 1,065 + 0,030 + 0,330 + 0,857 = 12,569
Então:
s = raiz 12,5697 approx raiz1,795 approx 1,34 um

Passo 9

Para um intervalo de confiança de 90% com n-1 = 7 graus de liberdade, consultamos a tabela t e encontramos o valor crítico t0,95 (já que é bilateral) aproximadamente igual a 1,895.

Passo 10

Usamos a fórmula do intervalo de confiança com a distribuição t:
IC = barx pm t ( sraizn )

Passo 11

Substituindo os valores:
IC = 6,625 pm 1,895 ( 1,34raiz8 )
Primeiro, calculamos 1,34raiz8:
1,342,828 approx 0,474
Então:
IC = 6,625 pm 1,895 times 0,474 approx 6,625 pm 0,897

Passo 12

Calculando os limites do intervalo:
6,625 - 0,897 = 5,728 um
6,625 + 0,897 = 7,522 um

Resposta

Quando o desvio padrão não é conhecido, o intervalo de confiança de 90% para o custo médio verdadeiro do produto é aproximadamente entre 5,73 u.m e 7,52 u.m.

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