Um empresário está estudando os custos de produção de um determinado produto sob determinadas condições. Ele admite que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão .
a) Determine um IC de para o custo médio verdadeiro do produto utilizando os valores da seguinte amostra aleatória obtida: u.m.
b) Suponha que no item (a) o desvio padrão não fosse conhecido. Como ficaria seus cálculos para determinar um IC para ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um empresário que quer entender os custos de produção de um produto. Ele sabe que esses custos seguem uma distribuição normal e o desvio padrão () é 2 unidades monetárias (u.m). Temos uma amostra de 8 valores de custo: 4,8; 7,1; 8,1; 4,5; 5,6; 6,8; 7,2; e 5,7 u.m. Vamos precisar calcular a média da amostra e usar a distribuição normal para achar o intervalo de confiança (IC) de 90% para o custo médio verdadeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. Somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de dados.
Passo 3
Agora, para um intervalo de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico que corresponde a esse nível de confiança. Como a distribuição é normal, usamos a tabela z. Para 90%, o z correspondente é aproximadamente 1,645.
Passo 4
Vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão é conhecido:
Onde:
é a média da amostra,
é o valor crítico,
é o desvio padrão,
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos :
Então:
Passo 6
Calculando os limites do intervalo:
Passo 7
Agora, no item (b), o desvio padrão () não é conhecido. Quando não sabemos , usamos o desvio padrão da amostra () e a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.
Passo 8
Primeiro, vamos calcular o desvio padrão da amostra.
Para um intervalo de confiança de 90% com n-1 = 7 graus de liberdade, consultamos a tabela t e encontramos o valor crítico t0,95 (já que é bilateral) aproximadamente igual a 1,895.
Passo 10
Usamos a fórmula do intervalo de confiança com a distribuição t:
IC = barx pm t ( sraizn )
Passo 11
Substituindo os valores:
IC = 6,625 pm 1,895 ( 1,34raiz8 )
Primeiro, calculamos 1,34raiz8:
1,342,828 approx 0,474
Então:
IC = 6,625 pm 1,895 times 0,474 approx 6,625 pm 0,897
Passo 12
Calculando os limites do intervalo:
6,625 - 0,897 = 5,728 um
6,625 + 0,897 = 7,522 um
Resposta
Quando o desvio padrão não é conhecido, o intervalo de confiança de 90% para o custo médio verdadeiro do produto é aproximadamente entre 5,73 u.m e 7,52 u.m.