Supõe-se que
das peças produzidas em um certo processo de fabricação sejam defeituosas. Para uma amostra aleatória de n=100 peças. 10 foram achadas defeituosas. Testar a hipótese a um nível de significância de:
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde 5% das peças produzidas são defeituosas. Pegamos uma amostra de 100 peças e encontramos 10 defeituosas. A gente precisa testar se essa proporção está de acordo com o que a gente espera (5%) ou se está diferente, usando dois níveis de significância: 5% e 1%. Para isso, vamos usar teste de hipóteses para proporção.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
- Hipótese nula (H₀): A proporção de peças defeituosas é 5%, ou seja,
. - Hipótese alternativa (H₁): A proporção de peças defeituosas é diferente de 5%, ou seja,
.
Estamos fazendo um teste bicaudal porque estamos verificando se a proporção é diferente, seja maior ou menor.
Passo 3
Agora, vamos calcular a estatística de teste. Para proporções, usamos a fórmula do z-teste:
Onde:
-
é a proporção observada (10/100 = 0,10). -
é a proporção assumida na hipótese nula (0,05). -
é o tamanho da amostra (100).
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, calculamos o z:
Passo 4
Com o valor de z calculado, agora vamos comparar com os valores críticos para os níveis de significância de 5% e 1%.
Para um teste bicaudal:
- Nível de significância de 5% (
): Os valores críticos de z são aproximadamente . - Nível de significância de 1% (
): Os valores críticos de z são aproximadamente .
Passo 5
Vamos analisar para cada nível de significância:
a) Para
:
- Nosso z calculado é 2,294.
- Como
, está na região de rejeição. - Conclusão: Rejeitamos a hipótese nula. Há evidências suficientes para afirmar que a proporção de peças defeituosas é diferente de 5% ao nível de 5%.
b) Para
:
- Nosso z calculado é 2,294.
- Como
, não está na região de rejeição. - Conclusão: Não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de peças defeituosas é diferente de 5% ao nível de 1%.
Resposta
a) Com um nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula, indicando que a proporção de peças defeituosas difere de 5%.
b) Com um nível de significância de 1%, não rejeitamos a hipótese nula, indicando que não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de peças defeituosas difere de 5%.