Supõe-se que 5 % das peças produzidas em um certo processo de fabricação sejam defeituosas. Para uma amostra aleatória de n=100 peças. 10 foram achadas defeituosas. Testar a hipótese a um nível de significância de:
a) alpha=5 %.
b) alpha=1 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde 5% das peças produzidas são defeituosas. Pegamos uma amostra de 100 peças e encontramos 10 defeituosas. A gente precisa testar se essa proporção está de acordo com o que a gente espera (5%) ou se está diferente, usando dois níveis de significância: 5% e 1%. Para isso, vamos usar teste de hipóteses para proporção.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula (H₀): A proporção de peças defeituosas é 5%, ou seja, .
  • Hipótese alternativa (H₁): A proporção de peças defeituosas é diferente de 5%, ou seja, .
Estamos fazendo um teste bicaudal porque estamos verificando se a proporção é diferente, seja maior ou menor.

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste. Para proporções, usamos a fórmula do z-teste:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • raiz0,05 times 0,95100 = raiz0,0475100 = raiz0,000475 approx 0,0218 é a proporção observada (10/100 = 0,10).
  • z = 0,10 - 0,050,0218 approx 0,050,0218 approx 2,294 é a proporção assumida na hipótese nula (0,05).
  • é o tamanho da amostra (100).
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, calculamos o z:

Passo 4

Com o valor de z calculado, agora vamos comparar com os valores críticos para os níveis de significância de 5% e 1%.
Para um teste bicaudal:
  • Nível de significância de 5% ( ): Os valores críticos de z são aproximadamente .
  • Nível de significância de 1% ( ): Os valores críticos de z são aproximadamente .

Passo 5

Vamos analisar para cada nível de significância:
a) Para :
  • Nosso z calculado é 2,294.
  • Como , está na região de rejeição.
  • Conclusão: Rejeitamos a hipótese nula. Há evidências suficientes para afirmar que a proporção de peças defeituosas é diferente de 5% ao nível de 5%.
b) Para :
  • Nosso z calculado é 2,294.
  • Como , não está na região de rejeição.
  • Conclusão: Não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de peças defeituosas é diferente de 5% ao nível de 1%.

Resposta

a) Com um nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula, indicando que a proporção de peças defeituosas difere de 5%.
b) Com um nível de significância de 1%, não rejeitamos a hipótese nula, indicando que não há evidências suficientes para afirmar que a proporção de peças defeituosas difere de 5%.

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