O número médio de terremotos de magnitude oito ou mais na escala Richter é de um por ano. Se
denota o número de terremotos de magnitude oito ou mais no ano que vem, encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre terremotos de magnitude 8 ou mais na escala Richter, que acontecem, em média, uma vez por ano. Vamos precisar usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para contar eventos raros que ocorrem de forma independente no tempo. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de não ter nenhum terremoto no ano que vem,
, e a variância dessa distribuição,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da Poisson é:
Aqui,
é a taxa média de ocorrências (no nosso caso, 1 terremoto por ano) e
é o número de eventos que queremos encontrar a probabilidade.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a probabilidade de não ter nenhum terremoto no ano que vem. Substituindo na fórmula:
Sabemos que
, então a probabilidade é aproximadamente 36,79%.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância da distribuição de Poisson. Uma das propriedades legais da Poisson é que a variância é igual à média. Então,
Isso significa que a variância é 1.
Resposta
A probabilidade de não ocorrer nenhum terremoto no ano que vem é aproximadamente
e a variância da distribuição é
.