O número médio de terremotos de magnitude oito ou mais na escala Richter é de um por ano. Se X denota o número de terremotos de magnitude oito ou mais no ano que vem, encontre P(X=0) e var(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre terremotos de magnitude 8 ou mais na escala Richter, que acontecem, em média, uma vez por ano. Vamos precisar usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para contar eventos raros que ocorrem de forma independente no tempo. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de não ter nenhum terremoto no ano que vem, P(X=0), e a variância dessa distribuição, var(X).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Aqui, lambda é a taxa média de ocorrências (no nosso caso, 1 terremoto por ano) e k é o número de eventos que queremos encontrar a probabilidade.

Passo 3

Vamos calcular P(X=0), que é a probabilidade de não ter nenhum terremoto no ano que vem. Substituindo na fórmula:
P(X = 0) = e^-1 cdot 1^00! = e^-1 cdot 1 / 1 = e^-1
Sabemos que e^-1 approx 0,3679, então a probabilidade é aproximadamente 36,79%.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância da distribuição de Poisson. Uma das propriedades legais da Poisson é que a variância é igual à média. Então,
var(X) = lambda = 1
Isso significa que a variância é 1.

Resposta

A probabilidade de não ocorrer nenhum terremoto no ano que vem é aproximadamente P(X=0) = 0,3679 e a variância da distribuição é var(X) = 1.

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