Uma amostra contendo 400 itens é retirada da saída de uma linha de produção. Uma fração de 0,016 dos itens produzidos pela linha são defeituosos. Suponha que itens defeituosos ocorram aleatoriamente e independentemente.
A. Qual é a probabilidade de que a proporção de defeituosos na amostra não seja maior que 0,0250 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma amostra de 400 itens de uma linha de produção onde 1,6% dos itens são defeituosos. Queremos descobrir a probabilidade de que, nessa amostra, a proporção de itens defeituosos não seja maior que 2,50%.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal. Vamos precisar entender como a proporção de defeituosos se comporta em grandes amostras e aplicar a aproximação normal para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • Tamanho da amostra,
  • Proporção real de defeituosos,
  • Proporção que queremos verificar,

Passo 3

Agora, vamos entender que a proporção da amostra, sigmap = raizp(1 - p)n , segue uma distribuição aproximadamente normal quando o tamanho da amostra é grande, graças ao Teorema Central do Limite. A média dessa distribuição é igual a e o desvio padrão é dado por:

Passo 4

Vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição da proporção:
mup = p = 0,016
sigmap = raiz0,016 times (1 - 0,016)400 = raiz0,016 times 0,984400 = raiz0,015744400 = raiz0,00003936 approx 0,00627

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z = p - mupsigmap = 0,0250 - 0,0160,00627 approx 0,0090,00627 approx 1,437 . Para isso, vamos calcular o escore Z, que nos diz quantos desvios padrão a proporção desejada está da média:

Passo 6

Com o escore Z calculado, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a P(Z <= 1,437) approx 0,924 .
Consultando a tabela ou utilizando uma calculadora, encontramos:

Resposta

A probabilidade de que a proporção de defeituosos na amostra não seja maior que 2,50% é aproximadamente 92,4%.

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