Uma amostra contendo 400 itens é retirada da saída de uma linha de produção. Uma fração de 0,016 dos itens produzidos pela linha são defeituosos. Suponha que itens defeituosos ocorram aleatoriamente e independentemente.
A. Qual é a probabilidade de que a proporção de defeituosos na amostra não seja maior que 0,0250 ?
A. Qual é a probabilidade de que a proporção de defeituosos na amostra não seja maior que 0,0250 ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma amostra de 400 itens de uma linha de produção onde 1,6% dos itens são defeituosos. Queremos descobrir a probabilidade de que, nessa amostra, a proporção de itens defeituosos não seja maior que 2,50%.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal. Vamos precisar entender como a proporção de defeituosos se comporta em grandes amostras e aplicar a aproximação normal para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
- Tamanho da amostra,
- Proporção real de defeituosos,
- Proporção que queremos verificar,
Passo 3
Agora, vamos entender que a proporção da amostra,
, segue uma distribuição aproximadamente normal quando o tamanho da amostra é grande, graças ao Teorema Central do Limite. A média dessa distribuição é igual a
e o desvio padrão é dado por:
Passo 4
Vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição da proporção:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
. Para isso, vamos calcular o escore Z, que nos diz quantos desvios padrão a proporção desejada está da média:
Passo 6
Com o escore Z calculado, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a
.
Consultando a tabela ou utilizando uma calculadora, encontramos:
Resposta
A probabilidade de que a proporção de defeituosos na amostra não seja maior que 2,50% é aproximadamente 92,4%.
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