Uma pesquisa de opinião revela que, t meses após anunciar sua candidatura, um certo político terá o apoio de A(t) por cento dos eleitores, onde
A(t) = (1/29)(-t^3 + 6t^2 + 63t + 1080), 0 < t < 12
Se a eleição está marcada para novembro, qual é o melhor mês para o político anunciar a candidatura? Se para vencer o político necessita de pelo menos 50 % dos votos, é provável que seja eleito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de análise de funções que pertence ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente de funções polinomiais e otimização. O exercício fala sobre o apoio que um político tem ao longo do tempo após anunciar sua candidatura. A função que descreve esse apoio é:
Aqui, representa o percentual de apoio que o político tem meses depois de anunciar a candidatura. O que precisamos descobrir é:
  1. Qual é o melhor mês para o político anunciar a candidatura? (provavelmente aquele que maximiza o apoio antes da eleição).
  2. Se o político precisa de pelo menos 50% dos votos para vencer, é provável que ele seja eleito?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “melhor mês para anunciar”. Geralmente, isso implica no momento em que o apoio é máximo, ou seja, quando atinge seu valor mais alto dentro do intervalo .
Para encontrar o máximo da função , precisamos derivar a função em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero (esses pontos são potenciais máximos ou mínimos).
Vamos começar calculando a derivada de .

Passo 3

Calculando a derivada de :
A derivada de , denotada por , é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de onde :
Multiplicando ambos os lados por 29 para simplificar:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os possíveis valores de .

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
Primeiro, podemos dividir ambos os lados por -3 para simplificar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Então, temos duas soluções:
Como representa tempo em meses após o anúncio e estamos considerando , descartamos a solução porque é negativa.
Portanto, o valor crítico é meses.

Passo 6

Agora, precisamos confirmar se é realmente um ponto de máximo. Para isso, podemos analisar o sinal da segunda derivada ou simplesmente observar o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto.
Vamos calcular a segunda derivada :
Derivando novamente:
Agora, avaliamos :
Como a segunda derivada é negativa em , isso indica que atinge um máximo nesse ponto.

Passo 7

Então, o apoio máximo ocorre 7 meses após o anúncio da candidatura. Sabendo que a eleição está marcada para novembro, precisamos determinar em que mês antes da eleição o político deve anunciar para que 7 meses se passem até a eleição.
Se considerarmos que é o momento do anúncio e é o momento da eleição (12 meses), então anunciar 7 meses antes da eleição significa:
çã
Portanto, o melhor momento para anunciar a candidatura é 5 meses antes da eleição.

Passo 8

Agora, vamos verificar se o apoio no ponto máximo é maior ou igual a 50%.
Calculamos :

Resposta

O melhor mês para o político anunciar a candidatura é 5 meses antes da eleição. Além disso, com um apoio máximo de aproximadamente 50,76%, é provável que ele seja eleito, já que supera o mínimo necessário de 50% dos votos.

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