Uma pesquisa de opinião revela que,
meses após anunciar sua candidatura, um certo político terá o apoio de
por cento dos eleitores, onde
Se a eleição está marcada para novembro, qual é o melhor mês para o político anunciar a candidatura? Se para vencer o político necessita de pelo menos
dos votos, é provável que seja eleito?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de análise de funções que pertence ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente de funções polinomiais e otimização. O exercício fala sobre o apoio que um político tem ao longo do tempo após anunciar sua candidatura. A função que descreve esse apoio é:
Aqui,
representa o percentual de apoio que o político tem
meses depois de anunciar a candidatura. O que precisamos descobrir é:
- Qual é o melhor mês para o político anunciar a candidatura? (provavelmente aquele que maximiza o apoio antes da eleição).
- Se o político precisa de pelo menos 50% dos votos para vencer, é provável que ele seja eleito?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “melhor mês para anunciar”. Geralmente, isso implica no momento em que o apoio é máximo, ou seja, quando
atinge seu valor mais alto dentro do intervalo
.
Para encontrar o máximo da função
, precisamos derivar a função em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero (esses pontos são potenciais máximos ou mínimos).
Vamos começar calculando a derivada de
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
A derivada de
, denotada por
, é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
onde
:
Multiplicando ambos os lados por 29 para simplificar:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os possíveis valores de
.
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Primeiro, podemos dividir ambos os lados por -3 para simplificar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Então, temos duas soluções:
Como
representa tempo em meses após o anúncio e estamos considerando
, descartamos a solução
porque é negativa.
Portanto, o valor crítico é
meses.
Passo 6
Agora, precisamos confirmar se
é realmente um ponto de máximo. Para isso, podemos analisar o sinal da segunda derivada ou simplesmente observar o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto.
Vamos calcular a segunda derivada
:
Derivando novamente:
Agora, avaliamos
:
Como a segunda derivada é negativa em
, isso indica que
atinge um máximo nesse ponto.
Passo 7
Então, o apoio máximo ocorre 7 meses após o anúncio da candidatura. Sabendo que a eleição está marcada para novembro, precisamos determinar em que mês antes da eleição o político deve anunciar para que 7 meses se passem até a eleição.
Se considerarmos que
é o momento do anúncio e
é o momento da eleição (12 meses), então anunciar 7 meses antes da eleição significa:
Portanto, o melhor momento para anunciar a candidatura é 5 meses antes da eleição.
Passo 8
Agora, vamos verificar se o apoio no ponto máximo é maior ou igual a 50%.
Calculamos
:
Resposta
O melhor mês para o político anunciar a candidatura é 5 meses antes da eleição. Além disso, com um apoio máximo de aproximadamente 50,76%, é provável que ele seja eleito, já que supera o mínimo necessário de 50% dos votos.