Se os números 3, A e B, nessa ordem, estão em progressão aritmética e os números 3, A-6 e B, nessa ordem, estão em progressão geométrica, então quais os possíveis valores de A ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor de $ A $ sabendo que os números 3, $ A $ e $ B $ estão em progressão aritmética (PA) e que os números 3, $ A-6 $ e $ B $ estão em progressão geométrica (PG). Para isso, vamos usar as propriedades das progressões aritmética e geométrica e montar duas equações que nos ajudarão a achar os possíveis valores de $ A $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é constante. Ou seja, se temos 3, $ A $, $ B $ em PA, então:
A
Isso significa que o segundo termo menos o primeiro é igual ao terceiro termo menos o segundo.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre $ A $ e $ B $:
A
Então, sabemos que $ B = 2A - 3 $.

Passo 4

Em seguida, vamos considerar que 3, $ A-6 $, $ B $ estão em progressão geométrica (PG). Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é constante. Ou seja, se temos 3, $ A-6 $, $ B $ em PG, então:
A-6
Isso significa que o segundo termo dividido pelo primeiro é igual ao terceiro termo dividido pelo segundo.

Passo 5

Vamos resolver essa equação:
A-63 = BA-6 Rightarrow (A-6)^2 = 3B
Substituindo $ B $ pela expressão que encontramos anteriormente $ B = 2A - 3 $:
B

Passo 6

Agora, vamos desenvolver a equação:
(A-6)^2 = 6A - 9 A^2 - 12A + 36 = 6A - 9 A^2 - 18A + 45 = 0

Passo 7

Temos uma equação quadrática $ A^2 - 18A + 45 = 0 $. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
A^2 - 18A + 45 = 0

Passo 8

Assim, temos duas soluções para $ A $:
A

Resposta

Os possíveis valores de $ A $ são 15 e 3.

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