Se os números
e
, nessa ordem, estão em progressão aritmética e os números
e
, nessa ordem, estão em progressão geométrica, então quais os possíveis valores de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar o valor de $ A $ sabendo que os números 3, $ A $ e $ B $ estão em progressão aritmética (PA) e que os números 3, $ A-6 $ e $ B $ estão em progressão geométrica (PG). Para isso, vamos usar as propriedades das progressões aritmética e geométrica e montar duas equações que nos ajudarão a achar os possíveis valores de $ A $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é constante. Ou seja, se temos 3, $ A $, $ B $ em PA, então:
Isso significa que o segundo termo menos o primeiro é igual ao terceiro termo menos o segundo.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre $ A $ e $ B $:
Então, sabemos que $ B = 2A - 3 $.
Passo 4
Em seguida, vamos considerar que 3, $ A-6 $, $ B $ estão em progressão geométrica (PG). Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é constante. Ou seja, se temos 3, $ A-6 $, $ B $ em PG, então:
Isso significa que o segundo termo dividido pelo primeiro é igual ao terceiro termo dividido pelo segundo.
Passo 5
Vamos resolver essa equação:
Substituindo $ B $ pela expressão que encontramos anteriormente $ B = 2A - 3 $:
Passo 6
Agora, vamos desenvolver a equação:
Passo 7
Temos uma equação quadrática $ A^2 - 18A + 45 = 0 $. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 8
Assim, temos duas soluções para $ A $:
Resposta
Os possíveis valores de $ A $ são 15 e 3.