Para fazer a aposta mínima na mega-sena uma pessoa deve escolher 6 números diferentes em um cartão de apostas que contém os números de 1 a 60 . Uma pessoa escolheu os números de sua aposta, formando uma progressão geométrica de razão inteira. Quais os números da aposta feita?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. A gente tem que encontrar 6 números diferentes entre 1 e 60 que formem uma progressão geométrica com razão inteira. Progressão geométrica, ou PG, é uma sequência onde cada termo é multiplicado por um mesmo número para chegar no próximo termo. Aqui, esse número (a razão) tem que ser um número inteiro. Pra resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as PGs e encontrar quais conjuntos de 6 números nesse intervalo atendem a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão geométrica. Em uma PG, cada termo é o anterior multiplicado por uma razão comum, que vamos chamar de $ r $. Então, se o primeiro termo é $ a $, os termos seguintes são $ a $, $ a \times r $, $ a \times r^2 $, $ a \times r^3 $, $ a \times r^4 $, e $ a \times r^5 $. Nosso objetivo é encontrar valores de $ a $ e $ r $ tais que todos os 6 termos sejam diferentes, estejam entre 1 e 60, e $ r $ seja um número inteiro.

Passo 3

Vamos começar pensando nos possíveis valores de $ r $. Como os termos têm que crescer e ser menores ou iguais a 60, $ r $ não pode ser muito grande. Vamos testar $ r = 2 $ e $ r = 3 $, que são razões inteiras que podem dar sequência dentro do intervalo.

Passo 4

Para $ r = 2 $, o primeiro termo $ a $ multiplicado por $ 2^5 = 32 $ tem que ser menor ou igual a 60, pois o sexto termo será $ a \times 32 $. Então:
r = 2
a
2^5 = 32
Como $ a $ precisa ser inteiro, o único valor possível é $ a = 1 $.

Passo 5

Vamos verificar essa sequência com $ a = 1 $ e $ r = 2 $:
a = 1
Todos os números são diferentes, estão entre 1 e 60, e formam uma PG com razão 2. Parece que encontramos uma possibilidade!

Passo 6

Agora, vamos testar $ r = 3 $. O sexto termo seria $ a \times 3^5 = a \times 243 $. Para ser menor ou igual a 60:
r = 3
a times 3^5 = a times 243
a times 243 <= 60
Não há valor inteiro de $ a $ que satisfaça isso, então $ r = 3 $ não funciona.

Passo 7

Vamos tentar $ r = 1 $. Se $ r = 1 $, todos os termos seriam iguais a $ a $, mas a questão pede números diferentes. Então, $ r = 1 $ não serve.

Passo 8

Finalmente, vamos considerar $ r = $ negativos. Mas, se a razão for negativa, os termos alternariam entre positivo e negativo, e como os números têm que estar entre 1 e 60, isso não funciona. Então, não há outras opções viáveis.

Resposta

Os números da aposta feita são $ 1, 2, 4, 8, 16 $ e $ 32 $.

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