Os números de BIOT e GRASHOF são parâmetros utilizados no estudo da transferência de calor, sendo:
B i=h cdot(V / A)K e G r=D^3 rho^2 g beta De
onde: h=Qt L^2 T Rightarrow Coeficiente de transferência de calor convectivo;
K=Qt L T Rightarrow Condutividade térmica do fluido é
Sendo que as seguintes dimensões e variáveis estão envolvidas:
L= comprimento;
M = massa;
t= tempo;
T=$ temperatura;
temperatura; energia;
energia; diâmetro do tubo;
diâmetro do tubo; volume;
volume; área;
área; aceleração da gravidade;
ace<=ração da gravidade; massa específica do fluido;
massa específica do fluido;
(a) Analise dimensionalmente o número de BIOT.
(b) Sabendo que o número de GRASHOF é adimensional, quais são as dimensões de mu= viscosidade do fluido =ML t (coeficiente de expansão térmica do fluido)?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois números importantes usados no estudo da transferência de calor: o número de BIOT e o número de GRASHOF. A pergunta tem duas partes:
a) Analisar dimensionalmente o número de BIOT.
b) Saber quais são as dimensões do coeficiente de expansão térmica , sabendo que o número de GRASHOF é adimensional.
Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas de BIOT e GRASHOF, além de aplicar a análise dimensional para verificar as dimensões dessas grandezas.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): analisar dimensionalmente o número de BIOT.
A fórmula dada para BIOT é:
Bi = h cdot (V / A)K
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor convectivo.
  • é a condutividade térmica do fluido.
  • é o volume.
  • é a área.
Vamos encontrar as dimensões de cada termo para verificar se BIOT é adimensional.

Passo 3

Primeiro, identificamos as dimensões básicas das variáveis envolvidas:
  • h = Qt L^2 T Rightarrow [h] = [Q][t][L]^2[Theta] = M L^2 T^-2T L^2 Theta = M T^-3 Theta^-1 (energia) tem dimensão K = Qt L T Rightarrow [K] = [Q][t][L][Theta] = M L^2 T^-2T L Theta = M L T^-3 Theta^-1 .
  • (tempo) tem dimensão .
  • (comprimento) tem dimensão .
  • (temperatura) tem dimensão .
Agora, vamos determinar as dimensões de e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, analisamos as dimensões de VA = L^3L^2 = L :
Sabemos que volume tem dimensão e área tem dimensão .
Então,
Portanto, tem dimensão de comprimento .

Passo 5

Vamos agora substituir as dimensões na fórmula de BIOT:
Bi = h cdot (V / A)K Rightarrow [Bi] = [h] cdot [L][K] = M T^-3 Theta^-1 cdot LM L T^-3 Theta^-1 = M L T^-3 Theta^-1M L T^-3 Theta^-1 = 1
Isso mostra que o número de BIOT é adimensional.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar as dimensões de Gr = D^3 rho^2 g beta De sabendo que o número de GRASHOF �� adimensional.
A fórmula do número de GRASHOF é:
Sabemos que é adimensional, então todas as dimensões do numerador devem se cancelar com as do denominador.

Passo 7

Primeiro, identificamos as dimensões de cada variável:
  • (diâmetro) tem dimensão .
  • (massa específica) tem dimensão .
  • (aceleração da gravidade) tem dimensão .
  • (diferença de temperatura) tem dimensão .
  • (viscosidade) tem dimensão .
  • (coeficiente de expansão térmica) é o que queremos descobrir:

Passo 8

Vamos expressar as dimensões do GRASHOF:
[Gr] = [D]^3 [rho]^2 [g] [beta] [De
Substituindo as dimensões conhecidas:
[Gr] = L^3 (M L^-3)^2 (L T^-2) [beta] Theta(ML T)^2
Simplificando passo a passo:
  • [Gr] = L^3 M^2 L^-6 L T^-2 [beta] ThetaM^2 L^-2 T^-2 = M^2 L^-2 T^-2 [beta] ThetaM^2 L^-2 T^-2 = [beta] Theta
  • [beta] Theta = 1 Rightarrow [beta] = Theta^-1
Substituindo de volta:
Como é adimensional:

Resposta

O coeficiente de expansão térmica tem dimensão , ou seja, inverso da temperatura.

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