Os números de BIOT e GRASHOF são parâmetros utilizados no estudo da transferência de calor, sendo:
onde: Coeficiente de transferência de calor convectivo;
é
Sendo que as seguintes dimensões e variáveis estão envolvidas:
comprimento;
M = massa;
tempo;
T=$ temperatura;
energia;
diâmetro do tubo;
volume;
área;
aceleração da gravidade;
massa específica do fluido;
(a) Analise dimensionalmente o número de BIOT.
(b) Sabendo que o número de GRASHOF é adimensional, quais são as dimensões de (coeficiente de expansão térmica do fluido)?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois números importantes usados no estudo da transferência de calor: o número de BIOT e o número de GRASHOF. A pergunta tem duas partes:
a) Analisar dimensionalmente o número de BIOT.
b) Saber quais são as dimensões do coeficiente de expansão térmica , sabendo que o número de GRASHOF é adimensional.
Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas de BIOT e GRASHOF, além de aplicar a análise dimensional para verificar as dimensões dessas grandezas.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): analisar dimensionalmente o número de BIOT.
A fórmula dada para BIOT é:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor convectivo.
  • é a condutividade térmica do fluido.
  • é o volume.
  • é a área.
Vamos encontrar as dimensões de cada termo para verificar se BIOT é adimensional.

Passo 3

Primeiro, identificamos as dimensões básicas das variáveis envolvidas:
  • (energia) tem dimensão .
  • (tempo) tem dimensão .
  • (comprimento) tem dimensão .
  • (temperatura) tem dimensão .
Agora, vamos determinar as dimensões de e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, analisamos as dimensões de :
Sabemos que volume tem dimensão e área tem dimensão .
Então,
Portanto, tem dimensão de comprimento .

Passo 5

Vamos agora substituir as dimensões na fórmula de BIOT:
Isso mostra que o número de BIOT é adimensional.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): encontrar as dimensões de sabendo que o número de GRASHOF �� adimensional.
A fórmula do número de GRASHOF é:
Sabemos que é adimensional, então todas as dimensões do numerador devem se cancelar com as do denominador.

Passo 7

Primeiro, identificamos as dimensões de cada variável:
  • (diâmetro) tem dimensão .
  • (massa específica) tem dimensão .
  • (aceleração da gravidade) tem dimensão .
  • (diferença de temperatura) tem dimensão .
  • (viscosidade) tem dimensão .
  • (coeficiente de expansão térmica) é o que queremos descobrir:

Passo 8

Vamos expressar as dimensões do GRASHOF:
Substituindo as dimensões conhecidas:
Simplificando passo a passo:
Substituindo de volta:
Como é adimensional:

Resposta

O coeficiente de expansão térmica tem dimensão , ou seja, inverso da temperatura.

Exercícios relacionados

Qual a diferença entre pressão manométrica e absoluta? O que é vácuo? A pressão absoluta pode ser negativa?
A equação:
é dimensionalmente homogênea? ( é a variação de pressão, é uma constante adimensional; é o comprimento do tubo, é a velocidade do fluido, fts; é a viscosidade do fluido, lbm/ft.s; é o diâmetro do tubo, ft.) Caso não seja, qual a quantidade deve ser incluída na lado direito da equação para torná-la homogênea?
O que é temperatura absoluta? Quais as escalas (unidades) que expressam este tipo de medida? Qual o significado físico do zero absoluto de temperatura?
O volume de uma barra de ferro varia com a temperatura de acordo com a fórmula:
(a) Quais são as unidades de 100 e ?
(b) Calcule o volume da barra em (in ) a uma temperatura de .
in
© Obtenha uma equação para em função de .