Um nutricionista pretende misturar três tipos de alimentos (A, B e C) de forma que a mistura resultante contenha 3600 unidades de vitaminas, 2500 de minerais e 2700 unidades de gorduras. As unidades por grama de vitaminas, minerais e gorduras dos alimentos constam da tabela a seguir:
VITAMINAS | MINERAIS | GORDURA
A | 40 | 100 | 120
B | 80 | 50 | 30
C | 120 | 50 | 60
Quantos gramas do alimento C devem compor a mistura?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mistura de alimentos! A gente precisa encontrar quantos gramas do alimento C devem estar na mistura para que a quantidade total de vitaminas, minerais e gorduras seja exatamente 3600, 2500 e 2700 unidades, respectivamente. Para isso, vamos usar o conceito de sistema de equações lineares, onde cada alimento contribui com uma certa quantidade de vitaminas, minerais e gorduras por grama.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja $ x $ a quantidade de gramas do alimento A.
  • Seja $ y $ a quantidade de gramas do alimento B.
  • Seja $ z $ a quantidade de gramas do alimento C que queremos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos montar as equações com base nas informações da tabela:
Vitaminas:
40x + 80y + 120z = 3600
Minerais:
100x + 50y + 50z = 2500
Gorduras:
120x + 30y + 60z = 2700

Passo 4

Vamos simplificar as equações para facilitar o cálculo. Podemos dividir a primeira equação por 40, a segunda por 10 e a terceira por 30:
Vitaminas simplificada:
x + 2y + 3z = 90
Minerais simplificada:
10x + 5y + 5z = 250
Gorduras simplificada:
4x + y + 2z = 90

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos isolar uma variável em uma das equações. Vamos isolar $ x $ na primeira equação:
x

Passo 6

Agora, substituímos $ x $ nas outras duas equações:
Minerais:
x
10(90 - 2y - 3z) + 5y + 5z = 250
900 - 20y - 30z + 5y + 5z = 250
Dividindo tudo por -5:
-15y - 25z = -650
Gorduras:
3y + 5z = 130
4(90 - 2y - 3z) + y + 2z = 90
360 - 8y - 12z + y + 2z = 90
Dividindo tudo por -1:
-7y - 10z = -270

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações e duas variáveis:
  1. $ 3y + 5z = 130 $
  2. $ 7y + 10z = 270 $
Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
3y + 5z = 130
Subtraindo a segunda equação dessa nova:
7y + 10z = 270
6y + 10z = 260
(6y + 10z) - (7y + 10z) = 260 - 270

Passo 8

Com $ y = 10 $, substituímos na primeira equação simplificada:
y = 10
3(10) + 5z = 130
30 + 5z = 130
5z = 100

Passo 9

Agora que temos $ y = 10 $ e $ z = 20 $, voltamos à equação que isola $ x $:
y = 10
z = 20
x

Resposta

A mistura deve conter 20 gramas do alimento C.

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