Um nutricionista pretende misturar três tipos de alimentos (A, B e C) de forma que a mistura resultante contenha 3600 unidades de vitaminas, 2500 de minerais e 2700 unidades de gorduras. As unidades por grama de vitaminas, minerais e gorduras dos alimentos constam da tabela a seguir:
VITAMINAS | MINERAIS | GORDURA
A | 40 | 100 | 120
B | 80 | 50 | 30
C | 120 | 50 | 60
Quantos gramas do alimento C devem compor a mistura?
VITAMINAS | MINERAIS | GORDURA
A | 40 | 100 | 120
B | 80 | 50 | 30
C | 120 | 50 | 60
Quantos gramas do alimento C devem compor a mistura?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mistura de alimentos! A gente precisa encontrar quantos gramas do alimento C devem estar na mistura para que a quantidade total de vitaminas, minerais e gorduras seja exatamente 3600, 2500 e 2700 unidades, respectivamente. Para isso, vamos usar o conceito de sistema de equações lineares, onde cada alimento contribui com uma certa quantidade de vitaminas, minerais e gorduras por grama.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja $ x $ a quantidade de gramas do alimento A.
- Seja $ y $ a quantidade de gramas do alimento B.
- Seja $ z $ a quantidade de gramas do alimento C que queremos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos montar as equações com base nas informações da tabela:
Vitaminas:
Minerais:
Gorduras:
Passo 4
Vamos simplificar as equações para facilitar o cálculo. Podemos dividir a primeira equação por 40, a segunda por 10 e a terceira por 30:
Vitaminas simplificada:
Minerais simplificada:
Gorduras simplificada:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos isolar uma variável em uma das equações. Vamos isolar $ x $ na primeira equação:
Passo 6
Agora, substituímos $ x $ nas outras duas equações:
Minerais:
Dividindo tudo por -5:
Gorduras:
Dividindo tudo por -1:
Passo 7
Agora temos um sistema com duas equações e duas variáveis:
- $ 3y + 5z = 130 $
- $ 7y + 10z = 270 $
Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a segunda equação dessa nova:
Passo 8
Com $ y = 10 $, substituímos na primeira equação simplificada:
Passo 9
Agora que temos $ y = 10 $ e $ z = 20 $, voltamos à equação que isola $ x $:
Resposta
A mistura deve conter 20 gramas do alimento C.