Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita?​

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma caixa com 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas, totalizando 10 válvulas. Tiramos duas válvulas de uma vez. Sabemos que uma delas é perfeita porque testamos e deu certo. Agora, queremos saber: qual a chance da outra válvula também ser perfeita? Vamos usar conceitos de probabilidade e combinações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes podemos escolher 2 válvulas dentre as 10 disponíveis. Isso é calculado usando a combinação, que é uma forma de contar as possibilidades sem se importar com a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 10 $ e $ k = 2 $, então:
n = 10
Ou seja, há 45 maneiras diferentes de escolher 2 válvulas.

Passo 3

Agora, sabemos que pelo menos uma das duas válvulas é perfeita. Vamos calcular quantas dessas combinações incluem pelo menos uma válvula perfeita. Para fazer isso, é mais fácil calcular o total de combinações que não têm nenhuma válvula perfeita (ou seja, ambas são defeituosas) e depois subtrair isso do total.
Número de combinações com 2 defeituosas:
C(4, 2) = 4!2!(4 - 2)! = 4 times 32 times 1 = 6
Então, o número de combinações com pelo menos uma válida perfeita é:
45 - 6 = 39

Passo 4

Agora, queremos a probabilidade de que ambas as válvulas sejam perfeitas, dado que pelo menos uma é perfeita. Primeiro, vamos calcular quantas combinações têm exatamente 2 válvulas perfeitas.
Número de combinações com 2 perfeitas:
C(6, 2) = 6!2!(6 - 2)! = 6 times 52 times 1 = 15

Passo 5

Finalmente, a probabilidade que estamos procurando é a razão entre o número de combinações com 2 perfeitas e o número de combinações com pelo menos uma perfeita:
P = 1539 = 513 approx 0,3846

Resposta

A probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita é de 513, ou aproximadamente 38,46%.

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